Übungsblatt 2 (Analysis für Informatiker) (Stens)

Aus Infostudium Wiki

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 1
2 Aufgabe 2
3 Aufgabe 3
4 Aufgabe 4
5 Aufgabe 5
6 Aufgabe 6
- 6.1 a)
- 6.2 b)
7 Aufgabe 7
8 Aufgabe 8
- 8.1 a)
- 8.2 b)
- 8.3 c)

Aufgabe 1

Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Jede beschränkte Teilmenge von $\N$ hat ein Infimum in $\R$ . Achtung: Leere Menge ist hier Gegenbeispiel! Diese ist beschränkt, besitzt aber kein Infimum!

Jede nichtleere beschrankte Teilmenge von $\mathbb{Q}$ hat ein Supremum, und dieses Supremum liegt in $\mathbb{Q}$ . Gegenbeispiel: Die Menge [0; $π$ )

Aufgabe 2

Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Elemente der gegebenen Menge. (Um Verwechselungen mit dem Dezimalkomma zu vermeiden, sind hier die Elemente der Mengen durch Semikola -- und nicht wie in der Vorlesung durch Kommata -- getrennt.)

Die leere Menge ist kein Element
{1;{2;3}} \ {2,3} => 2
{1;2;3} \ {{2},3} => 2
1 != {1}

Aufgabe 4

Zeigen Sie die folgenden Aussagen aus Lemma 1.1:

$x>0 \Rightarrow \frac{1}{x}>0$ ,
$x>y, x>0, y>0 \Rightarrow \frac{1}{x}<\frac{1}{y}$ ,
$x>y, w \ge z \Rightarrow x+w > y+z$ .

Bemerkung: Generell gilt, dass Sie zum Beweis eines Aussage der Vorlesung alle Aussagen der Vorlesung verwenden durfen, die zuvor genannt werden. Unabhangig vom Bewieis von Aussagen der Vorlesung durfen Sie in jeder Teilaufgabe die Aussagen vorheriger Aufgaben und Teilaufgaben verwenden.

Kennzeichnen Sie bitte alle verwendeten Anordnungsaxiome. Die Korperaxiome durfen Sie nun ohne Zitat verwenden. Machen Sie nicht zu viele Umformungen gleichzeitig! Ist nicht mehr ersichtlich, welche Umformung von Ihnen verwendet wurde, so wird sie als nicht gezeigt bewertet.

Aufgabe 5

Beweisen Sie Satz 1.7 der Vorlesung:

Satz 1.7 (Geometrische Summenformel) Für $x \in \mathbb{R} \ \{0\}$ und $n = 0,1,2,...$ gilt:

$\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

wobei $00 = 1$ gesetzt wird.

Ich habe die geometrische Summenformel durch vollständige Induktion bewiesen. Ob wir das so dürfen/können, ist die Frage.

$\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Beweis:

Induktionsanfang: $n 0 = 0$ . Es gilt

$x^0 = 1 = \frac{1-x^1}{1-x}$

Induktionsannahme: Wir nehmen an, dass die Formel für $n$ wahr ist, d.h.

$\sum_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Induktionsschluss: Wir müssen zeigen, dass aus der Induktionsannahme folgt, dass

$\sum_{k=0}^{n+1} x^k = \frac{1-x^{n+2}}{1-x}$ gilt.

Mit der Induktionsannahme gilt

$\sum_{k=0}^{n+1} x^k = \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1} = \frac{1-x^{n+1} + x^{n+1} - x^{n+2}}{1-x} = \frac{1-x^{n+2}}{1-x}$

Somit gilt die Formel für alle $n \in \mathbb{N}$ .

Aufgabe 6

Sei $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ . Sei $\mathbb{N}_0 := \mathbb{N} \cup \{0\}$ .

Beh.: Für alle $n \ \mathbb{N}_0$ gilt:

$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \frac{n+1}{a(a+n+1)}$

a)

Beweisen Sie obige Behauptung mit vollständiger Induktion.

IA: $n 0 = 0$

$\frac{1}{(a+0)(a+0+1)} = \frac{0+1}{a(a+0+1)}$

$=> \frac{1}{a(a+1)} = \frac{1}{a(a+1)}$

Induktionsannahme:

Wir nehmen an, dass die Formel für $n$ wahr ist.

IS: Zu zeigen:

$\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \frac{n+2}{a(a+n+2)}$

Mit der Induktionsannahme gilt:

$\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \frac{1}{(a+n+1)(a+n+1+1)}+ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = ... = \frac{n+2}{a(a+n+2)}$

b)

Schreiben Sie den k-ten Summanden der obigen Summe als Differenz zweier Brüche und berechnen Sie die summe, ohne das Ergebnis aus der Behauptung zu benutzen.

Hinweis: Der "Trick" in b) wird häufig als Teleskopsumme bezeichnet.

$\frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \frac{1}{(a+k)} - \frac{1}{(a+k+1)}$

Dieses in die Anfangsformel einsetzen:

$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k)} - \frac{1}{(a+k+1)} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k)} - \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(a+k+1)}$ Das erste bzw. letzte Summenglied rausnehmen
$=\frac{1}{a} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+k)} - \lbrack \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(a+k+1)} + \frac{1}{(a+n+1)}\rbrack$
$=\frac{1}{a} - \frac{1}{(a+n+1)} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+k+1)} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+k)}$ Indexverschiebung
$=\frac{1}{a} - \frac{1}{(a+n+1)} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+k)} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+k)}$
$=\frac{(a+n+1) - a}{a(a+n+1)} + \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+k)} - \frac{1}{(a+k)}$
$=\frac{n+1}{a(a+n+1)}$

Aufgabe 7

Zeigen Sie die folgenden Aussagen von Lemma 1.4:

(4) $A = A \cup B \Leftrightarrow B \subset A$

(8) $\complement(\complement A) = A, A \cup \complement A = \mathbb{R}, A \cap \complement = \emptyset$

(9) $A \subset B \Leftrightarrow \complement B \subset \complement A$

Aufgabe 8

a)

Zeigen Sie: Jeder innere Punkt einer Menge ist auch einer ihrer Häufungspunkte.

Ein innerer Punkt besitzt eine $\varepsilon$ -Umgebung, in der weitere Elemente zu finden sind. Folglich ist ist dieser Punkt ein Häufungspunkt.

Korrekt? Mathematisch ausgedrückt?

b)

Es sei $M \subset \mathbb{R}$ eine Menge und $x \in \mathbb{R}$ . Zeigen Sie, dass x keine Häufungspunkt von M ist, falls es ein $\varepsilon > 0$ gibt, so dass in der $\varepsilon$ -Umgebung $B_\varepsilon (x)$ von x nur endlich viele Punkte von M liegen.

c)

Sei $M = \left \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \right \} \cup \{ 0 \}$

Bestimmen Sie die Häufungspunkte und inneren Punkte von M. Benutzen Sie dieses Ergebnis, um zu schließen, ob $M$ offen oder abgeschlossen ist.

Vielleicht geht's so?

$x = 0 \notin M$ ist Häufungspunkt, denn:

Ist $U$ eine Umgebung von 0, dann gibt es ein $\varepsilon > 0$ so, dass

$U_\varepsilon (0) = (0-\varepsilon,0+\varepsilon) \subseteq U$

Nach dem Archimedischen Satz gibt es eine natürliche Zahl n mit $0 < \frac{1}{n} < \varepsilon$ . Dann ist $y = 0 + \frac{1}{n} \ne 0$ und $y \in U_\varepsilon (0) \subseteq U$

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