Übungsblatt 3 (Analysis für Informatiker) (Stens)

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Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe 1 2 Aufgabe 3 2.1 a) 2.2 b) 3 Aufgabe 4 4 Aufgabe 5 5 Aufgabe 6 6 Aufgabe 7

Aufgabe 1

• Ist konvergent und bestimmt divergent gegen , so ist bestimmt divergent gegen . Achtung: a könnte gegen 0 laufen.

Aufgabe 3

Zeigen Sie Lemma 1.8

a)

Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Fall 1 : der Durchschnitt ist leer Trivial da abgeschlossen ist. Fall 2 : der Durschschnitt ist nicht leer: ist abgeschlossen. Z.z. ist A ist abgeschlossen.
A ist somit Komplement von einer offenen Menge A ist nach Lemma 1.7 abgeschlossen

b)

Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Genau wie Fall a) nur die anderen Teile vom Lemma 1.7 benutzen. Achtung! Bei der Definition die endlichkeit nicht vergessen. Also | A_i | endlich

Aufgabe 4

Beweisen Sie die folgenden Aussagen von Satz 2.2 der Vorlesung mithilfe der der Definition 2.3:

Satz 2.2 Seien sowie und reelle Folgen mit und . Dann gilt:

1. 
2. .

Hinweis: Sie dürfen für die Bearbeitung der Aufgabe keine Ergebnisse verwenden, die erst nach Definition 2.3 vorgestellt werden.

Bearbeitung (a) 2 Fälle α = 0 und α ungl. 0

1.Fall klar!

2.Fall:

Setze Grenzwert von |an - a| < e/|α|

Dann hast du |α*an -α*a| = |α| * |an - a| < |α| * e/|α| = e

(b)

1. Setzte Grenzwerte von Folge an und bn auf |e/2|

Nun wie in (a) mit Hilfe der Dreiecksungleichung.

Aufgabe 5

Zeigen Sie mithilfe der Definition 2.3, dass die reelle Folge mit für konvergiert.

Hinweis: Sie dürfen für die Bearbeitung dieser Aufgabe keine Ergebnisse verwenden, die erst nach Definition 2.3 vorgestellt werden.

Bearbeitung: 1.) Schauen gegen was es konvergiert (a)

2.) |an - a| zu einem Bruch machen, umformen, Betrag raushauen, und nach oben abschätzen

Aufgabe 6

Bestimmen Sie, falls existent, den Grenzwert der Folge .

a) Seien mit k > l. Dann sei fur alle .

Hinweis: Benutzen Sie (ohne Beweis) das Sandwich-Lemma (siehe unten) und die Bernoullische Ungleichung.

b) fur alle .

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen:

Korollar: Sei (c_n) eine reelle Folge mit für alle . Dann gilt

Bemerkung: Auch in den folgenden Übungen dürfen Sie das folgende Lemma benutzen.

Lemma (Sandwich-Lemma)

Seien , und Folgen reeller Zahlen mit

1. Es gibt ein , so dass für alle mit gilt .
2. und sind konvergent mit .

Dann konvergiert auch die Folge mit .

Aufgabe 7

Eine Datenbank muss häufig neu sortiert werden, als Erfahrungswerte erhält man für die beiden Sortieralgorithmen in etwa den Aufwand in Abhängigkeit von der Zahl n der zu sortierenden Eintrage:

• Bubblesort: und
• Insertsort:

Welches der beiden Verfahren ist für sehr große Datenbanken zu empfehlen? Berechnen Sie dazu den Grenzwert der Folge und interpretieren Sie das Ergebnis.

Vorgehen:

Die Summen mit dem kleinem Gauß in Terme umformen, dann den Bruch bilden, schon sieht man, wogegen es strebt. 3/4 sollte das richtige Ergebnis sein.

Daraus folgt, dass Bubblesort für größere (und nebenbei bemerkt für alle) n der effizientere Algorithmus ist.

Achtung: Es kann sein, dass man erst den kleinen Gauß durch vollständige Induktion beweisen muss.