Übungsblatt 4 (Analysis für Informatiker) (Stens)

Aus Infostudium Wiki

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 3
- 1.1 a)
- 1.2 b)
- 1.3 c)
2 Aufgabe 4
- 2.1 a)
- 2.2 b)
3 Aufgabe 5
- 3.1 Aufgebenstellung
- 3.2 Bearbeitung
4 Aufgabe 6
- 4.1 Aufgabenstellung
- 4.2 Bearbeitung
5 Aufgabe 7
- 5.1 Aufgabenstellung
- 5.2 Bearbeitung
6 Aufgabe 8
- 6.1 Aufgabestellung
- 6.2 Bearbeitung

Aufgabe 3

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

a)

Hat eine Folge $(a_n)_{n \in \N}$ den Haufungspunkt $a \in \R$ , so ist $a$ auch Häufungspunkt ihrer Wertemenge $\{a_n | n \in \N\}$ .

b)

Ist eine Folge konvergent, so hat sie genau einen Häufungspunkt.

c)

Ist $(a_n)_{n \in \N}$ konvergent und gilt $a_n \neq 0$ für alle $n \in \N$ , so gilt $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1$ .

Aufgabe 4

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

a)

$(a_n)_{n \in \N}$ mit { $\displaystyle a_n = \left( \frac{2 n}{2 n - 1} \right)^{4 n}$ für alle $n \in \N$

b)

$(b_n)_{n \in \N}$ mit { $\displaystyle a_n = \frac{q^n}{n^k}$ für alle $n \in \N$ und für $k \in \N_0$ und $0<q \le 1$ .

Aufgabe 5

Aufgebenstellung

Untersuchen Sie die Folge $(a_n)_{n \in \N}$ definiert durch $a 1 = 0$ und $a_{n+1} = \frac{1}{5} (a_n^2 + a_n + 3)$ für alle $n \in \N$ auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Bearbeitung

Aufgabe 6

Aufgabenstellung

Untersuchen Sie die Funktion $f: \R \setminus \{-1\} \to \R$ , $\displaystyle x \mapsto \frac{x^2 + 1}{x + 1}$ auf Injektivitat, Surjektivitat und Stetigkeit.

Bearbeitung

Aufgabe 7

Aufgabenstellung

Sei $D\subset \R$ offen und $f:D\to\R$ eine stetige Funktion. Dann gilt: $M_f:=\{x\in D | f(x)>0\}$ ist offen.

Bearbeitung

Aufgabe 8

Aufgabestellung

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls existent.

$\displaystyle{\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{x^{2004}-1}{x^{256}-1}}$

Hinweis: Sie dürfen die Stetigkeit der Wurzel auf $[0,\infty)$ ohne Beweis benutzen. Denken Sie außerdem an das Kurzen der Ergebnisse.

Bearbeitung

Die Kunst bei dieser Aufgabe besteht darin, die Brüche so sinnvoll zu erweitern, dass keine Division durch Null mehr stattfindet.

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Aufgabe 3

a)

b)

c)

Aufgabe 4

a)

b)

Aufgabe 5

Aufgebenstellung

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Aufgabe 6

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Aufgabe 7

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Aufgabe 8

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