Übungsblatt 5 (Analysis für Informatiker) (Stens)

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Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe 1 1.1 Aufgabenstellung 1.2 Bearbeitung 2 Aufgabe 2 2.1 Aufgabenstellung 2.2 Bearbeitung 3 Aufgabe 3 3.1 Aufgabenstellung 3.2 Bearbeitung 4 Aufgabe 4 4.1 Aufgabenstellung 4.2 Bearbeitung 5 Aufgabe 5 5.1 a) 5.1.1 Aufgabenstellung 5.1.2 Bearbeitung 5.2 b) 5.2.1 Aufgabenstellung 5.2.2 Bearbeitung 5.3 c) 5.3.1 Aufgabenstellung 5.3.2 Bearbeitung 5.4 d) 5.4.1 Aufgabenstellung 5.4.2 Bearbeitung 5.5 e) 5.5.1 Aufgabenstellung 5.5.2 Bearbeitung 6 Aufgabe 6 6.1 Aufgabenstellung 6.2 Bearbeitung

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Bearbeitung

Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Bearbeitung

Aufgabe 3

Aufgabenstellung

Zeigen Sie:

1. Es gibt keine stetige und surjektive Funktion ,
2. Jede stetige und injektive Funktion ist streng monoton.

Beachte: Es gibt sehr wohl stetige Funktionen und surjektive Funktionen , aber keine Funktion, die sowohl stetig als auch injektiv ist. Um solche Funktionen mit beiden Eigenschaften geht es in Teil a), in Teil b) entsprechend um Funktionen, die sowohl stetig als auch injektiv sind.

Hinweis: Ein Bild ist keine Antwort, aber evtl. hilfreich, um auf eine Idee zu kommen.

Bearbeitung

Aufgabe 4

Aufgabenstellung

Ein komplexes Computerprogramm für hochsichere Anwendungen (etwa Atomkraftwerke, Flugzeuge, medizinische Gerate, usw., also etwas, von dem Menschenleben abhangen) ist in der Testphase des Gesamtsystems angekommen. Sie organisieren mehrere Testphasen um die Auflagen des Kunden zu erfüllen, das höchstens 1 Fehler pro einer Million Zeilen Code vorhanden sein darf. Jede Testphase (Phase i) gliedert sich in:

• (T1) Generiere 1000 zufällige, unabhängige, realistische und breit gestreute Programmeingaben und definiere die zulässigen Programmausgaben (in gewissen Grenzen).
• (T2) Teste die Reaktion des Programms auf die Eingaben und dokumentiere die auftretenden Fehler. Es treten f_i Fehler auf.
• (T3) Korrigiere die Fehler im System (mit anschließendem Test durch die problematische Eingabe).

Nehmen Sie nun an, Schritt T1 wurde korrekt erledigt und Sie konnten das dem Kunden glaubhaft machen. Sie fuhren 5 Testphasen durch und korrigieren dabei jeweils die auftretenden Fehler. Der Programmcode umfasst 50 Millionen Zeilen (diese Zahl ist invariant unter der Fehlerkorrektur). Können Sie und der Kunde davon ausgehen, dass Sie das Programm in die geforderten Fehlerschranken weisen können, wenn Sie nur genügend Testphasen mit anschließender Korrektur durchführen? Begründen Sie ihre Vermutung. Betrachten Sie dabei die Falle

1. f₁ = 800, f₂ = 400, f₃ = 200, f₄ = 100, f₅ = 50,
2. f₁ = 768, f₂ = 576, f₃ = 432, f₄ = 324, f₅ = 243,
3. f₁ = 500, f₂ = 300, f₃ = 200, f₄ = 150, f₅ = 125.

Bearbeitung

Aufgabe 5

a)

Aufgabenstellung

Berechnen Sie den Wert der Reihe , falls er existiert.

Bearbeitung

b)

Aufgabenstellung

Berechnen Sie den Wert der Reihe , falls er existiert.

Bearbeitung

Was hier wieder vorliegt, sind harmonische Reihen (Seite 20 im Skript).

c)

Aufgabenstellung

Untersuchen Sie mit Hilfe von Teil b) die Reihe auf Konvergenz.

Bearbeitung

d)

Aufgabenstellung

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz.

Bearbeitung

e)

Aufgabenstellung

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz.

Bearbeitung

Aufgabe 6

Aufgabenstellung

Wo liegen/liegt der Fehler? Begründen Sie die korrekten Umformungen und begründen Sie, was bei den falschen Umformungen übersehen wurde.

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