Übungsblatt 9 (Analysis für Informatiker) (Stens)

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Es sei $A \subset \R$ eine Menge. Welche Aussagen sind äquivalent dazu, dass $A$ abgeschlossen ist?

Sind für alle $n \in \N$ die Elemente $a_n \in A$ und ist $\lim_{n \to \infty} a_n=a$ , so folgt $a \in A$ .
Jede Folge, deren Elemente allesamt in $A$ liegen, besitzt eine in $A$ konvergente Teilfolge, d.h. eine konvergente Teilfolge, deren Grenzwert in $A$ liegt.
$A$ ist beschränkt und kompakt.
Das Komplement $\mathcal{C} A$ von $A$ ist offen und unbeschränkt.

a
b
Seite 10: Eine kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Da eine abgeschlossene Menge beschränkt und unbeschränkt sein kann, sind diese Aussagen nicht äquivalent.
d