Abbildung

Aus Infostudium Wiki

Hier eine grafische Darstellung, um eine Abbildung zu erläutern.

Eine Abbildung ist nur eine Abbildung, wenn vom jedem Element in der linken Menge eine Faser abgeht. Es können auch nicht von einem Element in der linken Menge zwei Fasern ausgehen. Das wäre dann ja so, als würde man in eine Funktion zweimal den selben Wert einsetzen und es kämen unterschiedliche Werte heraus.

Links ist das Urbild, rechts der Bildraum.

Schreibweise: Urbild: f ^{− 1}(M)

Inhaltsverzeichnis 1 Relation zwischen Werte- und Bildmenge 2 Faser 3 Anzahl von Abbildungen 3.1 Anzahl beliebiger Abbildungen 3.2 Anzahl der injektiven Abbildungen 3.3 Anzahl der surjektiven Abbildungen 4 Lineare Abbildungen 5 Weblinks

Relation zwischen Werte- und Bildmenge

Eine Funktion ist

injektiv

wenn f eine Abbildung ist, wo keine zwei Fasern auf das selbe Element in der rechten Menge zeigen.

Also

surjektiv

wenn alles im „Zielgebiet getroffen“ wird. Einmal oder mehrfach.

Also

bijektiv

wenn alle Fasern treffen maximal und minimal 1 mal jedes Element in der rechten Menge.

Also

andere

Ja, es gibt noch andere Abbildungsarten, die keines von den dreien sind.

Merke: Ist M eine endliche Menge und Funktion so gilt f injektiv <=> f surjektiv <=> f bijektiv. Dies trifft nicht zu, sobald M unendlich ist.

Faser

Schreibweise:

Anzahl von Abbildungen

Eine immer wieder beliebte Frage

Anzahl beliebiger Abbildungen

Von ist rⁿ die Anzahl

Anzahl der injektiven Abbildungen

Von ist die Anzahl

Anzahl der surjektiven Abbildungen

S_n,r ist die Stirling Zahl 2. Art. Diese wird wie folgt berechnet:

Lineare Abbildungen

Lineare Abbildung sind spezielle Abbildungen mit einigen besonderen durchaus wichtigen Eigenschaften (Wichtig für die Klausur!)

Weblinks

http://www14.informatik.tu-muenchen.de/lehre/2005WS/ds/2005-12-13.pdf

http://www.math.tu-cottbus.de/INSTITUT/lsgdi/DM/Stirling.html