AfI Klausur WS 0910

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 1
- 1.1 Lösung
2 Aufgabe 2
- 2.1 Lösung
3 Aufgabe 3
- 3.1 Lösung
4 Aufgabe 4
- 4.1 Lösung
5 Aufgabe 5
- 5.1 Lösung
6 Aufgabe 6
- 6.1 a)
  - 6.1.1 Lösung
- 6.2 b)
  - 6.2.1 Lösung
7 Aufgabe 7
- 7.1 Lösung
8 Aufgabe 8

Aufgabe 1

$z (n): = 2 4 n - 1$

Lösung

A(n): 15 teilt $z (n)$

A(1): $z (1) = 2 4 - 1 = 16 - 1 = 15$

Es sei $n \in \N$ und es gelte A(n). Nach IP reicht es, daraus $A (n + 1)$ zu folgern.

$z(n+1) = 2^{4(n+1)}-1 = 2^4 \cdot 2^{4n}-1 = 2^4 \cdot \underbrace{(2^{4n}-1)}_{A(n)} + \underbrace{2^4 - 1}_{A(1)}$

teilbar durch 15: als Summe zweier durch 15 teilbare Zahlen

$\Rightarrow A(n+1)$ folgt (in der Tat) aus A(n)

Aufgabe 2

$\lim_{x \to \infty} x \cdot (e^{\frac{1}{x}}-1)$

Lösung

$\lim_{x \to \infty} x \cdot (e^{\frac{1}{x}}-1) = [\infty \cdot 0] = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{x^{-1}} = \left [\frac{0}{0} \right ] = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot -\frac{1}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}} = 1$

Aufgabe 3

$\int_0^\infty e^{-x} \sin x \ dx$

Lösung

Auf $(0, \infty)$ betrachten wir $f (x): = e - x sin x$

$\int f = \begin{matrix} \int & e^{-x} & \sin x & dx & = & -e^{-x} \sin x + \int & e^{-x} & cos x & dx \\ & \parallel & \parallel & & & & \parallel & \parallel \\ & f' & g & & & & f' & g \\ & f = -e^{-x} & g'=\cos x & & & & f = -e^{-x} & g'=- \sin x \end{matrix}$

$\overset{P.I.}{=} -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \underbrace { \int e^{-x} \sin x \ dx }_{= \int f}$

$\Rightarrow \int f = -\frac{1}{2} e^{-x} ( \sin x + \cos x) + C$

Für a > 0 sei: $I^a := \int_0^a f(x) \ dx = \frac{1}{2} \left [ e^0 ( \sin 0 + \cos 0) - \underbrace { e^{-a} \underbrace {(\sin a + \cos a)}_{\in [-2,2]}}_{\to 0 [\mbox{ GW-Saetze}]} \right ]$

$\stackrel{a \to \infty}= \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Aufgabe 4

Man weise nach, dass für jedes $x \in (0,\frac{\pi}{2})$ die folgende Ungleichung gilt:

$\sin(x)-x \cdot \cos(x) \le x^2 \sin x$

Lösung

Sei $f (x): = sin x - x cos x$ , $f: \R \to \R$ diffbar.

Es gilt $f (0) = 0$ und $f'(x) = cos x - cos x + x sin x$ .

Nach dem MWS gibt es für jedes $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ ein $\sigma \in (0,x)$ mit $f(x) = \sigma \sin \sigma \cdot x$ . (2)

Die Funktion $\sigma \to \sigma \cdot \sin \sigma$ ist, als Produkt positiver, monoton wachsender Funktionen, monoton wachsend, also gilt für $0 < \sigma < x < \frac{\pi}{2}: 0 < \sigma \sin \sigma \le x \sin x$ , also mit (2): $f(x) \le x^2 \sin x$

Aufgabe 5

Die Folge $\{a_n\}^\infty_{n=1}$ sei gegeben durch

$a 1 : = 1$ , $a_{n+1} := \sqrt{2a_n+3}, n \in \N$

Man zeige, dass $\{a_n\}^\infty_{n=1}$ konvergiert und berechne den Grenzwert.

Hinweis: Ohne Beweis darf benutzt werden, dass für alle $n \in \N$ die Beziehung $a_n \le 3$ gilt.

Lösung

Zeige: $a_{n+1} \ge a_n \ \ \forall n \in \N$ .

Es gilt: $a_{n+1} \ge a_n \Leftrightarrow \sqrt{2a_n + 3} \ge a_n \Leftrightarrow 2a_n + 3 \ge a_n^2 \Leftrightarrow a_n^2-2a_n-3 \le 0 \Leftrightarrow a_n \le 3$ und $a_n \ge -1$

Das Letztere ist wahr da $a_n \le 3$ und $a_n \ge 0$

So ist $(a_n)_{n \in \N}$ nach oben beschränkt und monoton steigend => konvergent.

Grenzwert a: $\begin{matrix} a_{n+1} = & \sqrt{2 a_n+3} & \Rightarrow & a = \sqrt{2a+3} \Rightarrow a^2-2a-3 = 0 \\ \downarrow & \downarrow \\ a & \sqrt{2a+3} \end{matrix}$

$a = - 1$ oder $a = 3 \Rightarrow a = 3$

Aufgabe 6

Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a)

$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{\frac{n}{n^3+1}}$

Lösung

Es gilt: $\sqrt{\frac{n}{n^3+1}} \ge \sqrt{\frac{n}{2n^3}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot n}$

und $\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ divergent (harmonische Reihe)

$\Rightarrow$ Minorantenkriterium $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{\frac{n}{n^3+1}}$ divergent

b)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(\frac{n+1}{n})^{n^2}}{3^n}$

Lösung

Es gilt:

$\sqrt[n]{\frac{(\frac{n+1}{n})^{n^2}}{3^n}} = \frac{1}{3} \cdot \left (\frac{n+1}{n} \right )^n = \frac{1}{3} \left (1+\frac{1}{n} \right )^n \to \frac{e}{3} < 1$

$\Rightarrow$ Wurzelkriterium: $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\frac{n+1}{n})^{n^2}}{3^n}$ konvergent

Aufgabe 7

Gegeben seien $f: \R^2 \to \R^2$ und $g: \R^2 \to \R$ durch:

$f(x,y) := \begin{pmatrix} e^{2x+y} - x^2 \\ arctan(xy) \end{pmatrix}$ , $g (u, v): = sin(π u) + v 2$

Man berechne die Ableitung von $h := g \circ f$ im Punkte $(0,0)$ mit Hilfe der Kettenregel.

Lösung

$D(g \circ f)(0,0) = Dg(f(0,0)) \cdot Df(0,0)$

$f(0,0) = {1 \choose 0}$

$Dg(1,0) = ( \cos(\pi u) \cdot \pi, 2v)|_{(1,0)} = (-\pi,0)$

$Df(0,0) = \begin{pmatrix} e^{2x+y} \cdot 2 - 2x & e^{2x+y} \\ \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot y & \frac{1}{1+(xy)^2} \cdot x \end{pmatrix} |_ {(0,0)} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$D(g \circ f)(0,0) = (-\pi \ \ 0) \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = (-2 \pi \ \ -\pi)$

Aufgabe 8

Sind beschränkte nicht-leere Mengen und gilt außerdem , so gilt auch
- Falsch
Es seien differenzierbar. Ist die Funktion f uneigentlich Riemann-integrierbar und gilt für alle die Beziehung , so ist stets auch g uneigentlich Riemann-integrierbar.
- Wahr
Ist A eine 2x2-Matrix mit , so gilt immer .
- Wahr
Das Taylorpolynom dritter Ordnung von mit Entwicklungspunkt (0,0) ist ein Polynom dritter Ordnung, dessen partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 3 im Punkte (0,0) mit derjenigen von f übereinstimmen.
- Wahr
Ist nicht offen, so ist A abgeschlossen.
- Falsch