Analysis für Informatiker - Formelsammlung

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Inhaltsverzeichnis

1 Kapitel 1
2 Kapitel 2
3 Kapitel 3
4 Kapitel 4
- 4.1 Satz 4.1
- 4.2 Satz 4.8 (Regel von de L'Hospital, 1696)
5 Kapitel 5
6 Kapitel 6
7 Kapitel 7
- 7.1 Definition 7.1
- 7.2 Satz 7.8
8 Sonstiges, unsortiert

Kapitel 1

Satz 1.1 ("Archimedisches Prinzip")

$\mathbb{N}$ ist nicht nach oben beschränkt, d.h. zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl $n \in \mathbb{N}$ mit $n > x$ .

Zwischen zwei reellen Zahlen liegt stets eine rationale Zahl, d.h. ist $x < y$ , dann existieren Zahlen $p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$ , mit $x < \frac{p}{q} < y$ (sog. Dichtigkeit von $\mathbb{Q}$ ).

Satz 1.4 (Beweisprinzip der vollständigen Induktion)

Es sei $P (n)$ eine mathematische Aussage über die natürliche Zahl $n$ . Es sei $P (1)$ richtig (Induktionsanfang). Es lässt sich zeigen: $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ (Schluss von $n$ auf $n + 1$ ), d.h. unter der Annahme, dass $P (n)$ richtig ist, ist auch $P (n + 1)$ richtig. Dann ist auch $P (n)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ richtig.

Satz 1.5 (Bernoullische Ungleichung)

Für $x \in \mathbb{R}$ mit $x \ge -1$ und $n \in \mathbb{N}$ gilt:

Lemma 1.5

Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Lemma 1.7

$A$ offen $\Leftrightarrow \mathcal{C}A$ abgeschlossen,

$A$ abgeschlossen $\Leftrightarrow \mathcal{C}A$ offen.

Lemma 1.8

Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Merkhilfe für Lemma 1.5 und 1.8: Dba -> Durchschnitt, beliebig, abgeschlossen. 
Daraus kann man sich dann die insgesamt 4 Fälle für abgeschlossene und offene Mengen herleiten.

Definition 1.13

Eine abgeschlossene und beschränkte Menge reeller Zahlen heißt kompakt.

Satz 1.8 (Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen)

Jede unendliche und beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt in $\mathbb{R}$ .

Lemma 1.9

$A$ kompakt $\Leftrightarrow$ Jede unendliche Teilmenge von $A$ bestizt einen Häufungspunkt in $A$ .

Lemma 1.10

Sei $A$ kompakt. Dann gilt $\sup A, \inf A \in A$ .

Definition 1.14 (Komplexe Zahlen) Seite. 13

$z = (x, y)$

Summe: $z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2)$

Produkt: $z_1 \cdot z_2 = (x_1 \cdot x_2 - y_1 \cdot y_2, x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_1)$

Quotient: $\frac{x_1+y_1 i}{x_2 + y_2 i} = \frac{(x_1+y_1 i) \cdot (x_2-y_2 i)}{(x_2 + y_2 i) \cdot (x_2-y_2 i)}$ (Erweitert mit konjugiert komplexer Zahl des Nenners)

Lemma 1.11

Polarform: $z = r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)$

$\varphi = arctan \frac{y}{x}$ , $r = | z |$

Zusätzlich

Das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten:

$z\cdot\bar z = (x+y\mathrm{i}) (x-y\mathrm{i}) = x^2 + y^2=|z|^2$ .

Die Summe aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten:

$z + \bar z = (x+y\mathrm{i}) + (x-y\mathrm{i}) = 2a = 2\,\operatorname{Re}\{z\}$ .

Die Differenz aus einer komplexen Zahl und ihrer komplex Konjugierten:

$z - \bar z = (x+y\mathrm{i}) - (x-y\mathrm{i}) = 2b\mathrm{i} = 2\mathrm{i}\,\operatorname{Im}\{z\}$ .

Kapitel 2

Definition 2.3

Eine Folge $a_{n}, n \in \mathbb{N}$ konvergiert gegen den Grenzwert $a \in \mathbb{R}$ genau dann, wenn:

$\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \in \mathbb{N} \; \forall n > N: \; \left|a_{n}-a\right| < \varepsilon$

Satz 2.1

Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt.
Eine konvergente Folge ist beschränkt.

Satz 2.3

Es gilt $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_{n} = a$ genau dann, wenn jede Teilfolge gegen $a$ konvergiert.

Definition 2.5

Eine reelle Zahl $a$ ist ein Häufungspunkt (HP) einer Folge $a_{n}, n \in \mathbb{N}$ genau dann, wenn es eine Teilfolge $a_{n_{k}}, k \in \mathbb{N}$ gibt mit $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}a_{n_{k}} = a$ .

Satz 2.4 (Bolzano-Weierstraß für Folgen)

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt mindestens einen HP.

Satz 2.8

Eine Menge $A \subset \mathbb{R}$ ist abgeschlossen genau dann, wenn gilt:

$a_{n} \in A, n \in \mathbb{N}, \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_{n} = a \Rightarrow a \in A$

Eine Menge $A \subset \mathbb{R}$ ist kompakt genau dann, wenn jede Folge aus $A$ , d.h. $a_{n}. n \in \mathbb{N}$ mit $a_{n} \in A, n \in \mathbb{N}$ , eine in $A$ konvergente Teilfoge besitzt. D.h. es existiert $a_{n}, n \in \mathbb{N}$ und $a \in A$ mit $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} a_{n_{k}} = a$ .

Kapitel 3

Definition 3.3

Es sei $f$ definiert auf D, und $x 0$ sei ein HP von D.

Die Funktion $f$ besitzt in $x 0$ den Grenzwert $L \in \mathbb{R}$ , wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $\delta\left(\varepsilon, x_{0}\right) > 0$ existiert, so dass für alle $x \in D$ mit $x \neq x_{0}$ und $\left|x - x_{0}\right| < \delta\left(\varepsilon, x_{0}\right)$ gilt:

in Zeichen $\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} = L$

Wir schreiben $\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = \infty$ , wenn zu jedem $M > 0$ ein $δ(M, x 0) > 0$ existiert, so dass für alle $x \in D, x \neq x_{0}$ mit $\left|x-x_{0}\right| < \delta$ gilt $f (x) > M$ .

Definition 3.5

Sei $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ und $x_{0} \in D$ .

$f$ heißt stetig in $x 0$ , wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $\delta\left(\varepsilon, x_{0}\right) > 0$ existiert, so dass für alle $x \in D$ mit $\left|x - x_{0}\right| < \delta$ stets $\left|f(x)-f(x_{0})\right| < \varepsilon$ ist.

$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0: \forall x \in D$

$f$ heißt stetig in $D$ , wenn $f$ in jedem $x \in D$ stetig ist.

Definition 3.7

Sei $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ . $f$ heißt gleichmäßig stetig in $D$ , wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $\delta = \delta(\varepsilon, D)$ existiert mit $\left|f(x)-f(x_{0})\right| < \varepsilon$ , wenn nur $\left|x-x_{0}\right| < \delta$ ist.

Satz 3.5

Gegeben sei $f_{2} \circ f_{1}$ , wobei $f 1$ stetig in $x 0$ und $f 2$ stetig in $f 1 (x 0)$ ist. Dann ist auch die zusammengesetzte Funktion stetig in $x 0$ .

Satz 3.6 (Maximum-Minimum Satz von Weierstraß)

Es sei $D$ kompakt und $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. Dann gilt:

$f (D)$ ist kompakt.
$\exists x_{0}$ , $x_{1} \in D$ mit $f(x_{0}) \le f(x) \le f(x_{1}) \, \forall x \in D$ .

Satz 3.7 (Zwischenwertsatz)

Es sei $f$ stetig auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ und $f (a) < f (b)$ . Dann existiert zu jedem $μ$ mit $f (a) < μ < f (b)$ ein $x_{0} \in (a,b)$ mit $f (x 0) = μ$ .

Satz 3.8

Sei $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ stetig und $D$ kompakt. Dann ist $f$ gleichmäßig stetig.

Satz 3.11

$1 - \frac{1}{x} \le \log x \le x - 1$

Kapitel 4

Satz 4.1

$f: B_{r}(x_{0}) \rightarrow \mathbb{R}$ sei differenzierbar in $x_{0} \Rightarrow f$ stetig in $x 0$ .
$f$ differenzierbar in $\left[a,b\right] \Rightarrow f$ stetig in $\left[a,b\right]$

Satz 4.8 (Regel von de L'Hospital, 1696)

$\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Kapitel 5

Satz 5.7 (1. Fundamentalsatz)

Es sei $f \in \mathcal{R}\left[a,b\right]$ . Dann gilt

$F(x) = \int_{a}^{x} f(u) \text{d}u$ , ist stetig auf $\left[a,b\right]$ ("Integration Glättet").

Ist $f$ in $x_{0} \in \left[a,b\right]$ stetig, so ist $F (x)$ in $x 0$ differenzierbar, und es gilt

$\left.\frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_{a}^{x} f(u) \text{d}u\right|_{x=x_{0}} = f(x_{0})$

Ist $f \in \mathcal{C}\left[a,b\right]$ , so gilt $\frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_{a}^{x} f(u) \text{d}u = f(x), x \in \left[a,b\right]$ .

Satz 5.8 (2. Fundamentalsatz)

Sei $f \in \mathcal{R}\left[a,b\right]$ und G eine Stammfunktion. Dann gilt

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) = \left.F(x)\right|_{a}^{b}$

Sei $f$ eine auf $[a, b]$ definierte Funktion mit $f' \in \mathcal{R}\left[a,b\right]$ . Dann gilt

$f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f'(u)\text{d}u, \, a \le x \le b$

Satz 5.9 (partielle Integration)

Es seien $f, g$ differenzierbar auf $\left[a,b\right]$ und $f', g' \in \mathcal{R}\left[a,b\right]$ . Dann gilt

$\int_{a}^{b} f'(x)g(x) \text{d}x = f(x)g(x) - \int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx$

Satz 5.13

Für $\sin x, \cos x, x \in \mathbb{R}$ gilt

$sin 2 x + cos 2 x = 1$

Lemma 5.6 (Additionstheoreme)

$\sin(x + y) = \sin(x) \cdot \cos(y) + \cos(x) \cdot \sin(y)$

$\cos(x + y) = \cos(x) \cdot \cos(y) - \sin(x) \cdot \sin(y)$

Kapitel 6

Geometrische Reihe: $\sum_{k=1}^\infty x^k$ Konvergiert bei $| x | < 1$ zu $\frac{1}{1-x}$ , divergent für $| x | > 1$ .

Harmonische Reihe: $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ , divergent

Alternierende harmonische Reihe: $\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{1}{k}$ , konvergent

Satz 6.4

Ist $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|a_{k}\right| < \infty$ , so ist $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ konvergent.

Ist $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|b_{k}\right| < \infty, \left|a_{k}\right| \le \left|b_{k}\right|, k \ge N_{0} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|a_{k}\right|$ ist konvergent. (Majorantenkriterium)

Ist $\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_{k}$ divergent, $\left|a_{k}\right| \ge \left|b_{k}\right|, k \ge N_{0} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|a_{k}\right|$ ist divergent. (Minorantenkriterium)

Satz 6.5

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ mit $a_{k} \ge 0, k \in N$ ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Satz 6.6 (Wurzelkriterium)

Gegeben sei $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ , und es sei

$p := \overline{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}} \left|a_{n}\right|^{\frac{1}{n}}$

$p < 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|a_{k}\right|$ konvergent.
$p > 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ divergent (und somit ist auch $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|a_{k}\right|$ divergent).
$p = 1 \Rightarrow$ keine Aussage.

Satz 6.7 (Quotientenkriterium) (verkürzt!)

Gegeben sei $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ , und es sei

$r :=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$

$r < 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left|a_{k}\right|$ konvergent.
$r > 1 \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ divergent.
$r = 1 \Rightarrow$ keine Aussage.

Satz 6.8 (Leibnitz-Kriterium)

Es sei $a_{k}, k \in N$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_{k} = 0$ . Dann ist die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(-1\right)^{k}a_{k}$ konvergent mit Summe s, und es gilt

$\left|s-s_{n}\right| \le a_{n+1}, n \in \mathbb{N}$

Kapitel 7

Definition 7.1

Sei $f_{n}, n \in N$ eine Folge von auf $D \subset \mathbb{R}$ definierten Funktionen, und $f$ eine auf $D$ definierte Funktion. Die Folge $f_{n}, n \in N$ konvergiert punktweise auf $D$ gegen $f$ , wenn $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x) = f(x), x \in D$ gilt.

$f_{n} \rightarrow f(x), x \in D, n \rightarrow \infty$

Satz 7.8

Gegeben sei die Potenzreihe $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ . Ferner sei

$p = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|a_{n}\right|^{\frac{1}{n}},R =$ $\begin{cases} \frac{1}{p}, & \mbox{falls } p \neq 0, p \in \mathbb{R} \\ 0, & p = \infty \\ \infty, & p = 0 \\ \end{cases}$

Dann gilt:

Die Potenzreihe ist absolut konvergent für $\left|x\right| < R$ , d.h. $- R < x < R$ , und divergent für $\left|x\right| > R$ . Die Zahl $R \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ heißt Konvergenzradius.

Die Potenzreihe konvergiert gleichmäßig für $\left|x\right| \le r < R$ .

Existiert $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$ , so ist $R = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$ .

Sonstiges, unsortiert

Die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen stetig.

Die Funktion ist als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar.

Die Funktion ist als Komposition partiell differenzierbarer Funktionen partiell differenzierbar.

stetig partiell differenzierbar	$\Leftrightarrow$	stetig differenzierbar
$\Downarrow$		$\Downarrow$
partiell differenzierbar	$\Leftarrow$	differenzierbar
		$\Downarrow$
		stetig