Vollständige Induktion

Übliches Schema: A(n), A(1), A(n+1)

versuchen, Induktionsvoraussetzung A(n) in A(n+1) durch Umformung wiederzufinden

Eventuell A(n) umformen, um I.V. einsetzen zu können

Gleichung
- Logarithmus
Ungleichung
- Bernoullische Ungleichung

Grenzwert

(Uneigentliches) Integral

Substitution

Ungleichung

Lagrange Restglied
Mittelwertsatz
Umformen und Monotonie per Differentiation beweisen

Rekursive Folge

Reihen

(harmonische Reihe) => div.

Differentiation (mehrere Variablen)

MCs

Bei Epsilon-Aufgabe

Bei Aufgaben, worin das gebräuchliche Epsilon auftaucht, immer folgendes hinschreiben:

" Sei "

Gibt einen halben Punkt!

Berechnung von Grenzwerten

Beim Anwendung der Grenzwertsätze "GWS" über das Gleichheitszeichen schreiben. Als Grenzwertsätze wird gehandelt:

Die Addition zweier existierender Grenzwerte.
Die Multiplikation zweier exisitierender Grenzwerte
Die Multiplikation mit einer Konstanten
Die Division zweier Grenzwerte, wenn die Folgenglieder im Nenner immer ungleich Null sind

Weiterhin ist die Stetigkeit von Funktionen anzumerken (kurzes xy stetig über dem Gleichheitszeichen), wenn der Grenzwert in eine Funktion hineingezogen wird.

Integrale

Uneigentliche Integrale

Zunächst ohne Grenzen betrachten

Partielle Integration

Immer an die Terme schreiben, welcher f und g bzw. f' und g' ist.

Berechnung von Ableitungen

Nicht nur wie in der Schule die Ableitung hinschreiben sondern vorher "zeigen", dass die Funktion differenzierbar ist. Meistens reicht ein einfacher Satz wie "Die Funktion ist als Verkettung differenzierbarer Funktionen ebenfalls differenzierbar". Aber Achtung, manche Funktionen sind in ihrerer Differenzierbarkeit beschraenkt. zum Beispiel der Logarithmus.

l'Hospital

Bevor man den l'Hospital anwendet, muss man die Bedingungen überprüfen.

f und g müssen differenzierbar sein
in einer Umgebung von $x 0$
existiert ( und zugelassen)

Aufgabentypen

Grenzwert einer Folge bestimmen

Rekursiv definierte Folgen

Um rekursiv definierte Folgen zu handeln macht man sich den Satz zu nutze, dass eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergent ist. (Wenn sie es denn ist). Dazu ist zu zeigen

Die Beschränktheit der Folge. Das kann man entweder mittels vollständiger Induktion machen, oder indem man den Abbildungsbereich der Rekursion betrachtet. Hierzu empfielt es sich die obere Grenze von der Rekursionsformel abzuziehen und die Nullstellen dieser Funktion zu betrachten. (Für genaues Verfahren, siehe Probeklausur, Newtonverfahren Aufgabe).
die Monotonie der Folge (wachsend oder fallend). Entweder direkt oder per vollständiger Induktion.
der Grenzwert der Folge muss ein Fixpunkt der Rekursion sein. Man untersucht die Rekursion also nach Fixpunkten ( $a n + 1 = a n$ ) und sucht dann den richtigen anhand der oben gezeigten Beschränktheit und Monotonie raus.