Basis orthogonalisieren

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Inhaltsverzeichnis

1 Sinn und Zweck
2 Vorraussetzungen
3 Vorgehensweise
4 Beispiel

Sinn und Zweck

Dieses Dokument beschreibt, wie man aus einer gegebenen Basis $B = (b 1,..., b n)$ eine Orthogonalbasis $O = (o 1,... o n)$ mit dem sogenannten Gram-Schmitt Verfahren erzeugt.

Vorraussetzungen

Um dieses Verfahren anwenden zu können, sollte man mit den Begriffen Basis,Orthogonalität und Skalarprodukt etwas anfangen können.

Vorgehensweise

Der erste Vektor der Orthogonalbasis ist beliebig. Man wählt also:

$o 1 = b 1$

Der zweite Vektor muss orthogonal zu $o 1$ sein, weshalb man ihn durch Projektion aus $b 2$ erzeugt:

$o_2=b_2 - \frac{<o_1,b_2>}{<o_1,o_1>}\cdot o_1$

wobei $< v 1, v 2 >$ ein Skalarprodukt der Vektoren v1 und v2 darstellt.

Der dritte Vektor muss orthogonal zu $o 1$ und $o 2$ sein. Man erzeugt ihn also aus $b 3$ folgendermaßen:

$o_3=b_3 - \frac{<o_1,b_3>}{<o_1,o_1>}\cdot o_1 - \frac{<o_2,b_3>}{<o_2,o_2>}\cdot o_2$

Allgemein kann man also sagen:

$o_n=b_n - \sum_{i=1}^{n-1}\frac{<o_i,b_n>}{<o_i,o_i>}\cdot o_i$

Also man setzt den ersten Vektor beliebig aus B und für alle weiteren zieht man von einem noch nicht gewählten Vektor $b r$ aus B von diesem das Produkt $\frac{<o_i,b_r>}{<o_i,o_i>}\cdot o_i$ für alle bereits berechneten Orthogonalvektoren $o i$ ab.

Beispiel

Sei $V = R 3$ , so ist zB. $B=\left( \left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix}3\\1\\0\end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix}0\\2\\5\end{matrix}\right)\right)$ eine Basis von V.

Der erste Vektor einer entsprechenden Orthogonalbasis wäre zB. $o_1=b_1=\left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right)$

Nun ergibt sich für $o 2$ :

$o_2=b_2 - \frac{<o_1,b_2>}{<o_1,o_1>}\cdot o_1 = \left(\begin{matrix}3\\1\\0\end{matrix}\right) - \frac{<\left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}3\\1\\0\end{matrix}\right)>}{<\left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right)>}\cdot \left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}3\\1\\0\end{matrix}\right) - \frac{6}{5}\cdot \left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right)$

Für $o 3$ gilt:

$o_3=b_3 - \frac{<o_1,b_3>}{<o_1,o_1>}\cdot o_1 - \frac{<o_2,b_3>}{<o_2,o_2>}\cdot o_2 =\left(\begin{matrix}0\\2\\5\end{matrix}\right) - \frac{<\left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\2\\5\end{matrix}\right)>}{5}\cdot \left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right) - \frac{<\left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\2\\5\end{matrix}\right)>}{<\left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right)>}\cdot \left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}0\\2\\5\end{matrix}\right) - \frac{5}{5}\cdot \left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right) - \frac{-4}{\frac{14}{5}}\cdot \left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right) =\frac 1 7 \cdot\left(\begin{matrix}-8\\24\\16\end{matrix}\right)$

Somit ist $O=\left( \left(\begin{matrix}2\\0\\1\end{matrix}\right) , \left(\begin{matrix}\frac 3 5\\1\\-\frac 6 5\end{matrix}\right) , \frac 1 7 \cdot\left(\begin{matrix}-8\\24\\16\end{matrix}\right) \right)$ eine Orthogonalbasis von V. (nicht schön, aber selten.)

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