Basis orthogonalisieren
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Sinn und Zweck
Dieses Dokument beschreibt, wie man aus einer gegebenen Basis B = (b1,...,bn) eine Orthogonalbasis O = (o1,...on) mit dem sogenannten Gram-Schmitt Verfahren erzeugt.
Vorraussetzungen
Um dieses Verfahren anwenden zu können, sollte man mit den Begriffen Basis,Orthogonalität und Skalarprodukt etwas anfangen können.
Vorgehensweise
Der erste Vektor der Orthogonalbasis ist beliebig. Man wählt also:
o1 = b1
Der zweite Vektor muss orthogonal zu o1 sein, weshalb man ihn durch Projektion aus b2 erzeugt:
wobei < v1,v2 > ein Skalarprodukt der Vektoren v1 und v2 darstellt.
Der dritte Vektor muss orthogonal zu o1 und o2 sein. Man erzeugt ihn also aus b3 folgendermaßen:
Allgemein kann man also sagen:
Also man setzt den ersten Vektor beliebig aus B und für alle weiteren zieht man von einem noch nicht gewählten Vektor br aus B von diesem das Produkt 
für alle bereits berechneten Orthogonalvektoren oi ab.
Beispiel
Sei V = R3, so ist zB. 
eine Basis von V.
Der erste Vektor einer entsprechenden Orthogonalbasis wäre zB. 
Nun ergibt sich für o2:
Für o3 gilt:
Somit ist 
eine Orthogonalbasis von V. (nicht schön, aber selten.)
