Charakteristisches Polynom
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Vorraussetzungen
Man sollte mit den Begriffen Matrix, Determinante und evlt. lineare Abbildung etwas anfangen können
Sinn und Zweck
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms einer linearen Abbildung sind deren Eigenwerte. Man benötigt es also meistens um Eigenwerte zu bestimmen und den jeweils zugehörigen Eigenvektorraum. Mit diesen kann man dann die Matrix diagonalisieren zB. um hohe Potenzen einer Matrix mit geringem Aufwand zu bestimmen.
Definition
Das Charakteristische Polynom χA einer Matrix 
ist definiert als 
, wobei det die Determinante und En die n-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet.
Ähnliche Matrizen haben stets das gleiche charakteristische Polynom, es gilt also 
Daraus folgt: Wenn φ eine lineare Abbildung ist, dann ist das charakteristische Polynom jeder Abbildungsmatrix von φ gleich. Deshalb ist das charakteristische Polynom einer linearen Abbildung 
eine Abbildungsmatrix von φ ist.
Beispiel: Das Charakteristische Polynom einer 2x2 Matrix
Sei 
so ist 
