Determinante
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Definition
Die genaue Definition wird hier nicht angegeben, da sie im jeweiligen Skript steht und eher verwirrend ist. Dieser Artikel beschreibt nur die verschiedenen Techniken die Determinante zu berechnen.
Falls jemand Lust hat, kann er ja gerne die exakte Definition angeben.
Determinanten von 2x2 Matrizen
Man kann sich diese Regel einfach merken indem man sich überlegt, dass das positive Produkt der Diagonalen von oben links auf das negative Produkt der Diagonalen von unten links addiert wird.
Determinanten von 3x3 Matrizen
Die sogenannte Regel von Saruss besagt:
Determinanten von n x n Matrizen
Für n x n Matrizen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Dreiecksmatrix-Regel
Falls die Matrix eine obere oder untere Dreiecksmatrix ist, so ist die Determinante das Produkt der Diagonalen
Beispiel
Kästchensatz
Falls die Matrix einen quadratischen 0-Block in der unteren linken oder oberen rechten Ecke hat, so kann man den Kästchensatz anwenden:
Beispiel
Laplace-Entwicklung
Falls 1 und 2 nicht möglich, so benutzt man die Laplace-Entwicklung nach der Zeile oder Spalte, welche die meisten 0en enthält
Beispiel
Sei 
- Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen (hier also die 2. Spalte)
- Man denke sich im Hinterkopf ein Schachbrett aus + und - über der Matrix, wobei oben links in der Ecke + steht. Wichtig sind eigentlich nur die Vorzeichen in unserer ausgesuchten Zeile oder Spalte in unserem Fall also:
Hinterkopf:
- Nun gehen wir jeden Eintrag unserer Spalte durch wobei das jeweilige Vorzeichen unseres Schachbrettes draufmultipliziert wird. Also der Reihe nach -0, +2, +3, +0.
Mit jedem dieser Einträge multiplizieren wir nun die Determinante der Matrix, welche durch ausblenden unserer Spalte und der Zeile in welcher wir uns gerade befinden, entsteht:
Die Determinanten mit Faktor 0 fallen natürlich weg (was der Grund ist, warum wir uns die Zeile oder Spalte mit den meisten 0en ausgesucht haben)
Tipps und Tricks
Wichtig! Falls man sieht, dass in einer Matrix
- eine Zeile oder eine Spalte linear abhängig von einer oder mehreren anderen ist
- oder eine Matrix eine Nullzeile oder Nullspalte enthält
so ist die Determinante stets = 0 Also drauf achten, bevor ihr in der Klausur anfangt eine 10x10 Matrix mit Laplace zu bearbeiten ;)
