Erwartungswert

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Inhaltsverzeichnis

Sinn und Zweck

Der Erwartungswert gibt, wie der Name schon sagt, an, welcher Wert eine Zufallsvariable oder eine Funktion abhängig von einer Zufallsvariablen "im Schnitt" annimmt.

Definition

Der Erwartungswert E(X) berechnet sich bei einer

diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung

mit Zähldichte pk als

E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)}x\cdot p(x)

Der Erwartungswert einer Funktion g(x) berechnet sich als:

E(g(x)) = \sum_{x \in X(\Omega)}g(x)\cdot p(x)

Beispiel

Sei X eine Poisson-verteilte Zufallsvariable. Also gilt p(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable mit Verteilung Y = 3X ist:

E(3k) = \sum_{k \in X(\Omega)}3x\cdot p(x)=\sum_{k \in X(\Omega)}3k\cdot \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} =3e^{-\lambda}\cdot\sum_{k \in X(\Omega)}\frac{\lambda^k}{(k-1)!} =3e^{-\lambda}\cdot\sum_{k \in X(\Omega)}\lambda\cdot\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} =3\lambda e^{-\lambda}\cdot\sum_{k \in X(\Omega)}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \overset{\text{Def. von }e^x}=3\lambda e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=3\lambda

stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung

mit Riemanndichte f(x) als

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx

Der Erwartungswert einer Funktion g(x) berechnet sich als:

E(g(x)) = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)\cdot f(x)dx

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