Formelsammlung (Forschungsmethoden II)

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Folgende Formelsammlung wird für die Klausur gebraucht. Alle Formeln, die hier aufgelistet sind, werden für die Klausur gestellt. Auswendig lernen ist also überflüssig.

Erläuterung

$n$ : Anzahl der Elemente

$n i$ : Anzahl der Elemente in der Klasse i

$x i$ : Element

Zentrale Tendenz

Arithmetisches Mittel

$\bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Geometrisches Mittel

$\bar{x}_{geo} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^N x_i}$

Arithmetisches Mittel klassierter Merkmale

$\bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{c} n_i x_i}{n}$

c = Klassenzahl

Median

$Z W u n g = x (n + 1) / 2$

$Z W g e r = (x (n / 2) + x (n / 2) + 1) / 2$

Streuung

Spannweite

$S W = x m a x - x m i n$

Varianz

$s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

Durchschnittliche absolute Abweichung

$AD = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} |x_i-\bar{x}|}{n}$

Varianz klassierter Merkmale

$s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{c} (x_i-\bar{x})^2 n_i}{n-1}$

c = Klassenzahl

Korrelation und Regression

Produkt-Moment-Korrelation

$r=\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i - \bar{y}) }{\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n \left (x_i-\bar{x} \right )^2 \sum\limits_{i=1}^n \left ( y_i - \bar{y} \right )^2 }}$

$r=\frac{ n \cdot \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i - \sum\limits_{i=1}^n x_i \sum\limits_{i=1}^n y_i }{\sqrt{ n \cdot \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - \left ( \sum\limits_{i=1}^n x_i \right )^2 } \cdot \sqrt{ n \cdot \sum\limits_{i=1}^n y_i^2 - \left ( \sum\limits_{i=1}^n y_i \right )^2 }}$

Multiplikative Konstante

$a_{\hat{y} x}=\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i - \bar{y}) }{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 }$

$a_{\hat{y} x}=\frac{ n \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i - \sum\limits_{i=1}^n y_i \sum\limits_{i=1}^n x_i }{n \cdot \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - \left ( \sum\limits_{i=1}^n x_i \right )^2 }$

Additive Konstante

$b = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n y_i}{n} - a \cdot \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}$

$b_{\hat y x}=\frac{ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \sum\limits_{i=1}^n y_i - \sum\limits_{i=1}^n x_i \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i }{n \cdot \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - \left ( \sum\limits_{i=1}^n x_i \right )^2 }$

$r = s_{xy} / \sqrt{s_x^2 s_y^2} = \sqrt{a_{\hat{y} x} \cdot a_{\hat{x} y}}$

Kombinatorik

	ohne Wiederholung	mit Wiederholung
Permutation	$P n = n!$	$P_n = \frac{n!}{\prod_{i=1}^e k_i!}$
Variation (Kombination mit Beachtung der Anordnung)	$V_n = \frac{n!}{(n-k)!}$	$V n = n * k$
Kombination (Kombination ohne Beachtung der Anordnung)	$C_n = {n \choose k}$	$C_n = {n+k-1 \choose k}$

Verteilungen

Binomialverteilung $f(x\|n;p) = {n \choose x} p^x q^{n-x}$	Normalverteilung $f(x\|\mu ; \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } \sigma} \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot (\frac{x- \mu}{\sigma})^2}$
Mittelwert $\mu \equiv n \cdot p$	Mittelwert siehe Arithmetisches Mittel
Streuung $-\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$	Streuung siehe Varianz
Stichprobenfehler -	Stichprobenfehler $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_{x}}{\sqrt{n}}$