Gruppe

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Gruppen sind der "Grundbaustein" vieler anderer algebraischer Strukturen (z.B. Vektorräume oder Ringe).

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung \circ:G\times G \rightarrow G heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  • \exists \, 0 \in G:\; 0\circ x=x\quad x\in G (Existenz eines neutralen Elements)
  • \forall \, x \in G:\; \exists \, y \in G\; \textrm{mit}\; x \circ y = 0 (Existenz inverser Elemente)
  • Für die Verknüpfung \circ gilt: x\circ(y\circ z)=(x\circ y)\circ z\quad x,y,z\in G (Assoziativität)

Sind diese Voraussetzungen erfüllt, so schreibt man auch (G,\circ) für die Gruppe G.

Bemerkungen

Ist die Verknüpfung \circ kommutativ, d.h. gilt: x\circ y = y \circ x\quad x,y\in G dann nennt man G auch "abelsch" oder "kommutativ".

Tabellendarstellung

Gruppen werden oft in Tabellenform angegeben. Dabei verwendet man den Modulo-Operator, um nicht aus der Gruppe herauszurutschen. Das heißt in der Tabelle der Gruppe (5,+) steht dann nicht 5 + 5 = 10 sondern 5 + 5 = 10 MOD 5 = 0 oder 3 + 4 = 7 MOD 5 = 2. So kommen in der Tabelle nur Zahlen vor, die auch in der Gruppe enthalten sind.


Siehe auch

Kategorie:Gruppentheorie

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