Harmonische Reihe

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Beschreibung

\sum_{k=1}^\infty x^k

Die harmonische Reihe ist für sich divergent. Die Nachfolgende Aufgabe ist nur konvergent, da sich zwei harmonische Reihen gegenseitig aufheben.

Beispiel-Aufgabe

\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \frac{1}{2 \cdot (k+4)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+4} \right ) = \frac{1}{2} \left ( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+4} \right )

Indexverschiebung

= \frac{1}{2} \left ( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \sum_{k=5}^{n+4} \frac{1}{k} \right )

= \frac{1}{2} \left ( \left ( 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{n} \right ) - \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \frac{1}{n+4} \right ) \right )

= \frac{1}{2} \left ( 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4} \right )

Die letzten vier Summanden in der Klammer konvergieren gegen 0, wenn n gegen \infty geht.

Damit ergibt sich als Wert der Reihe \frac{1}{2} \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) = \frac{25}{24}


Erläuterung:

Bei diesem Aufgabentyp muss man die Terme so umformen, dass zwei harmonische Reihen sichtbar werden, die man mittels 2.9 (Seite 20 im Skript) so umformt, dass sich die unendlich summierten Terme in der Mitte gegenseitig aufheben.

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