Körperaxiome

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Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Beweise

Folgende Beweise beziehen sich auf die Definitionen von Hanke

(i)

Z.z.: -a=(-1) \cdot a \ \forall \ a \in K

-a \ \overset{\underset{\mathrm{A2}}{}}{=} -a + 0 \ \overset{\underset{\mathrm{B2}}{}}{=} -a + 0 \cdot a \ \overset{\underset{\mathrm{A3}}{}}{=} -a + (1+(-1)) \cdot a

=A9 -a + 1 \cdot a + (-1) \cdot a \ \overset{\underset{\mathrm{A3 \ A6}}{}}{=} (-1) \cdot a

(ii)

Beh.: -(-a) = a \ \forall \ a \in K

-(-a) = -(-a)+0 = -(-a)+(a + (-a)) \ \overset{\underset{\mathrm{A3}}{}}{=} a

(iii)

Gilt ab = 1 , a,b \in K \Rightarrow b = a^{-1}

Beweis: ab = 1 \Rightarrow a \neq 0 (\neq b)

\Rightarrow \exists a^{-1} \in K

\Rightarrow a^{-1} = a^{-1} \cdot 1 = a^{-1} ab = a \cdot b = b

(iv)

Sei 0 \neq a \in K . Dann ist (a − 1) − 1 = a

(a^{-1})^{-1} = (a^{-1})^{-1} \cdot 1 = (a^{-1})^{-1} \cdot (a^{-1} \cdot a) = ((a^{-1})^{-1} \cdot (a^{-1}) ) \cdot a = 1 \cdot a = a

(v)

Gilt für ein b \in K: ab = a \ \forall \ a \in K, dann ist b = 1.

Bew: Insb. 1 \cdot b = 1 . Fertig

(vi)

Gilt a2 = a , a \in K \Rightarrow a=1 oder a = 0

Bew.: Ist a \neq 0 , dann ex. a^{-1} \in K \Rightarrow

a = 1 \cdot a = (a^{-1} \cdot a) \cdot a = a^{-1} \cdot a^2 = a^{-1} \cdot a = 1

Beh.: (-a)(-b) = a \cdot b \ \forall \ a,b \in K

(-a)(-b) = (-a)(-1)b = (-1)(-a)b \ \overset{\underset{\mathrm{(i)}}{}}{=} (-(-a))b \ \overset{\underset{\mathrm{(ii)}}{}}{=} ab

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