LA - Blatt 7 (Hiss)

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Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabe 1
2 Aufgabe 2
3 Aufgabe 3
4 Aufgabe 4
5 Aufgabe 5
6 Aufgabe 6
7 Weblinks

Aufgabe 1

Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume in den jeweils angegebenen $\mathbb{R}$ -Vektorräumen?

a) $U := \lbrace (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{3 \times 4} | a_{11} + a_{12} = 0 \rbrace \subseteq \mathbb{R}^{3 \times 4}$

b) $U := \lbrace (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{4 \times 3} | a^2_{11} + a^2_{22} = 0 \rbrace \subseteq \mathbb{R}^{4 \times 3}$

c) $U := \lbrace A \in \mathbb{R}^{n \times n}) | A = A^t \rbrace \subseteq \mathbb{R}^{n \times n}$

d) $U := \lbrace f \in \mathbb{R}^\mathbb{R} | f(x) \le 17$ für alle $x \in \mathbb{R} \rbrace \subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$

e) $U := \lbrace f \in \mathbb{R}^\mathbb{R} | f$ ist monoton $\rbrace \subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$

Aufgabe 2

Es seien A und B Matrizen über einem Körper K, so dass $A \cdot B$ definiert ist. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a) Die Spalten von $A \cdot B$ sind Linearkombinationen der Spalten von B.

b) Es gilt $A \cdot B^t = (B \cdot A^t)^t$ , falls die rechte Seite definiert ist.

Von rechts aus gesehen: $(A t) t$ ist $A$ , $(B) t$ ist $B t$ . Durch die Transponierung der ganzen Klammer, müssen A und B vertauscht werden.

c) Die Zeilen von $A \cdot B$ sind Linearkombinationen der Zeilen von A.

d) Jede Zeile von $A \cdot B$ liegt im Zeilenraum von B.

Der Zeilenraum sind die Zeilen der Matrix B in Vektoren umgeformt. Zerteilt man eine Matrix in Vektoren auf, so erzeugt man einen Unterraum, daher der Name. Nimmt man dann zwei beliebige Matrizen, multipliziert diese und versucht, eine Zeile des Matrizenproduktes mit den Zeilenvektoren aus B zu erzeugen, so gelingt dies.

e) Sind A und B in $G L n (K)$ , dann gilt $(A^t \cdot B^t) \cdot (A^{-1} \cdot B^{-1})^t \cdot B = B$ .

Link dazu: http://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_lineare_Gruppe

Heißt also, dass A und B $n \times n$ -Matrizen sind.

Es gilt: $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$

$\begin{matrix} (A^t \cdot B^t) \cdot (A^{-1} \cdot B^{-1})^t \cdot B = B & \iff & (B \cdot A)^t \cdot (A^{-1} \cdot B^{-1})^t \cdot B = B \\ \ & \iff & (B \cdot A \cdot A^{-1} \cdot B^{-1})^t \cdot B = B \\ \ & \iff & (A \cdot A^{-1} \cdot B \cdot B^{-1})^t \cdot B = B \\ \ & \iff & (1 \cdot 1)^t \cdot B = B \\ \ & \iff & B = B \\ \end{matrix}$

Aufgabe 3

Entscheiden Sie jeweils, ob die angegebene Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W linear ist.

a) $K := \mathbb{R}, V := \mathbb{R}^{1 \times 2}, W := \mathbb{R}, \varphi :(x_1,x_2) \mapsto x_1 + x_2$

b) $K := \mathbb{R}, V := K^{2 \times 3}, W := K^{1 \times 3}, \varphi : M \mapsto (1,2) \cdot M$

c) $K := \mathbb{F}_2, V := \mathbb{F}_2, W := \mathbb{F}_2, \varphi : x \mapsto x^3$

d) $K := \mathbb{R}, V := \mathbb{R}^\mathbb{R}, W := \mathbb{R}^\mathbb{R}, \varphi : f \mapsto f-f$

e) $K := \mathbb{Q}, V := \mathbb{Q}, W := \mathbb{Q}, \varphi : x \mapsto 2x + 1$

Aufgabe 4

Es seien K ein Körper und $\varphi: V \mapsto W$ und $\psi: W \mapsto V$ lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?