Linear unabhängig

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Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Basen eines Vektorraums 4 Beispiele 4.1 2 Vektoren 5 Einge Aufgaben zu Linearer Unabhängigkeit

Definition

2 oder mehrere Elemente (v,w,z,...) eines Vektorraums heißen linear unabhängig, wenn es keine Skalaren gibt mit αv + βw + ... = z

Bemerkungen

• Ein Vektor alleine, ist genau dann linear unabhänig, wenn er ungleich 0 ist
• Ein oder mehrere Vektoren zusammen mit dem Nullvektor, sind immer linear abhängig

Basen eines Vektorraums

Basen eines Vektorraums sind immer linear unabhängig.

Beispiele

Hier verschiedene Beispiele

2 Vektoren

• Sei v = (1,2,3),w = (2,4,6), dann sind v,w linear abhängig, da 2 * v = w
• Sei v = (1,2,3),w = (2,4,5), dann sind v,w linear unbhängig, da es kein gibt mit

Einge Aufgaben zu Linearer Unabhängigkeit

v,w sind genau dann linear abhängig, 
wenn es ein  gibt, mit ?

Das ist falsch, denn w könnten 0 sein ( mit geht nicht!)!

Gibt es v,w,z so, dass (v,w),(v,z),(w,z) linear unabhängig sind, aber (v,w,z) linear abhängig?

Nehmen wir v = e1,w = e2,z = v + w mit e1,e2 die Einheitsvektoren, dann sind (v,w),(v,z),(w,z) linear unabhängig aber (v,w,z) linear abhängig! Dies ist auf der ersten Blick zwar trivial, und auch einleuchtend, aber macht euch das an ein paar anderen Beispielen klar!"