Lineare Abbildung

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Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen sind strukturerhaltende Abbildungen zwischen Vektorräumen. Das allgemeiere Konzept, von dem lineare Abbildungen ein Spezialfall sind, ist das der Homomorphismen. Siehe dazu Homomorphismus bei Wikipedia und Lineare Abbildung bei Wikipedia.

Formale Definition

Eine Abbildung heißt linear wenn sie folgende Eigenschaften besitzt

  • Homogenität: \alpha f\left(x\right) = f\left(\alpha x\right), für einen Skalar α
  • Additivität: f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)

Eigentlich keine Formale Definition, aber es folgt direkt aus der Additivität, dass f(0) = 0 ist, da f(0) = f(k − k) = f(k) − f(k) = 0 mit k beliebig aus D(f).

Damit kann man auch direkt prüfen ob eine Abbildung linear ist

  • Ist f(0) = 0?
  • Ist f(a+b)=f(a)+f(b) \forall a,b,a+b \in D(f)
  • Ist \alpha f(a) = f(\alpha a) \forall \alpha,a \;mit\; a,\alpha a \in D(f)

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Eine lineare Abbildung (Homomorphismus) heißt

  • Endomorphismus, falls sie den gleichen Bild- und Definitionsbereich hat f: V \to V
  • Monomorphismus, falls sie injektiv ist (Dies ist genau dann, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind).
  • Epimorphismus, falls sie surjektiv ist.
  • Isomorphismus, falls sie bijektiv ist.

Dimension, Bild, Kern

Sei f eine lineare Abbildung f: V->W, dann ist

  • dim (V) = dim (Kern(f)) + dim (Bild(f))

Auch dieser Satz ist sehr wichtig, da man viele Klausuraufgaben damit lösen kann

Beispielaufgaben

Zu linearen Abbildung gibt es immer eine Klausuraufgabe. Meistens sind diese ganz leicht mit ein paar Umformungen zu lösen

lineare Unabhänigkeit und lineare Abbildungen

Seien V,\, W K-Vektorräume.
Sei f:\,V \rightarrow W  eine lineare Abbildung und v,w,z \in V . 
Zeigen Sie, dass (v,w,z) dann linear unabhängig ist, 
wenn (f(v),f(w),f(z)) linear unabhängig ist.

Die Lösung ist ganz einfach (hier ein indirekter Beweis): 

Sei (v,w,z) linear abhängig, dann existieren Skalare α,β,γ mit αv + βw + γz = 0 
und (\alpha,\beta,\gamma)\neq 0  (heißt, dass nicht alle drei gleichzeitig null sind).
Wende auf diese Gleichung f an:
f\big(\alpha v + \beta w + \gamma z\big) = f(0)=0
 \Leftrightarrow f(\alpha v) + f(\beta w) + f(\gamma z) =0
\Leftrightarrow \alpha f(v) + \beta f(w) + \gamma f(z) = 0
Daraus würde aber Folgen (da min. ein Skalar nicht Null ist), dass  (f(v),f(w),f(z))
linear abhängig ist. Widerspruch zu (f(v),f(w),f(z)) ist l.u.!
Also muss (v,w,z) linear unabhängig gewesen sein.

Dies ist einmal eine beliebte Beweisaufgabe, jedoch auch sehr schön für den multiple Choice Teil. Beachte: Hierbei ist es egal, ob f injektiv, surjektiv, bijektiv ist. Die Aussage gilt bei jeder beliebigen linearen Abbildung!

Macht man allerdings die Einschränkung, dass f injektiv sein soll, so gilt auch die Umkehrung dieser Aussage: 

Vorraussetzungen wie oben, sei f ferner injektiv. 
Zeigen Sie, dass (v,w,z) ist l.u. impliziert (f(v),f(w),f(z)) ist l.u.
Wegen f injektiv ist Kern(f) = {0}.
Angenommen (f(v),f(w),f(z)) sei l.a., dann
a\cdot f(v) + b\cdot f(w) + c\cdot f(z) = 0,\quad (a,b,c)\neq 0 
\Leftrightarrow f(a\cdot v+b\cdot w+c\cdot z) = 0
\Leftrightarrow a\cdot v+b\cdot w+c\cdot z = 0  da Kern(f) = {0}
Das aber widerspricht der Annahme (v,w,z) ist l.u.
Also ist (f(v),f(w),f(z)) l.u.

Ohne die Einschränkung f soll injektiv sein, fukntioiert das nicht. Gegenbeispiel ist die Nullabbildung 

 f: V\rightarrow \{0\},\; x \mapsto 0

die, wie man leicht sieht, linear ist.

Weitere Beispiele folgen

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