Lineare Algebra - Mitschrift - Hanke/1 Lineare Gleichungssysteme

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Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Gleichungssysteme
2 Matrizen
3 Der Gauß Algorithmus
4 Matrix-Arithmetik

Lineare Gleichungssysteme

(1.1) Definition (Lineares Gleichungssystem)

Ein Lineares Gleichungssystem (über $\mathbb{R}$ ) hat die Form

$\begin{array}{lllllllll} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \ldots & + & a_{1 n} x_n & = & b_1\\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \ldots & + & a_{2 n} x_n & = & b_2\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{m 1} x_1 & + & a_{m 2} x_2 & + & \ldots & + & a_{\operatorname{mn}} x_n & = & b_m \end{array}$

( $m$ Gleichungen mit $n$ Unbekannten)

mit $a_{\operatorname{ij}}, b_i \subset \mathbb{R}$ (die Koeffizienten des LGS)

Eine Lösung des LGS ist ein $n$ -Tupel $(s_1, \ldots, s_n), s_j \in \mathbb{R}$ , sodass alle $m$ Gleichungen erfüllt sind, wenn jeweils $s j$ für $x j$ eingesetzt wird.

Für Lösungen schreibe $\left(\begin{array}{c} s_1\\ \vdots\\ s_n \end{array}\right)$ statt $(s_1, \ldots, s_n)$

(1.2) Beispiel (zu 1.1)

Auslassung: Triviales Beispiel

(1.3) Beispiel (zu 1.1)

$x + y = 2, x - y = 0$
Lösung: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$ , $x + x = 2 \Rightarrow x = 1 \Leftrightarrow y = 1$
$x + y = 2, x + y = 0$
Lösung: Keine Lösung, Widerspruch
$x + y = 2,3 x + 3 y = 6$
Lösung: $x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x$ , $3 x + 3 (2 - x) = 6 \Rightarrow 6 = 6 \Rightarrow$ x beliebig

(1.4) Bemerkung (zu 1.1)

Die Lösungsmenge des LGS ändert sich nicht, wenn

2 Gleichungen vertauscht werden
Eine Gleichung mit einem $c \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ multipliziert wird
Das $c$ -fache eine Gleichung zu einer anderen addiert wird $(c \in \mathbb{R})$

(Äquivalenzumformungen)

(1.5) Beispiel (zu 1.4)

$n = m = 4$

$\begin{array}{llllllllll} (z_1) & x_1 & + & x_2 & & & + & x_4 & = & 1\\ (z_2) & x_1 & + & x_2 & + & 2 x_3 & + & 3 x_4 & = & 5\\ (z_3) & 2 x_1 & + & 2 x_2 & & & + & 3 x_4 & = & 5\\ (z_4) & & & & & 3 x_3 & + & 2 x_4 & = & 3 \end{array}$

Subtrahiere $(c = - 1)$ $z 1$ von $z 2$ , Subtrahiere $2 z 1$ von $z 3$

$\begin{array}{llllllllll} (z_1) & x_1 & + & x_2 & & & + & x_4 & = & 1\\ (z_2) & & & & & 2 x_3 & + & 3 x_4 & = & 4\\ (z_3) & & & & & & & x_4 & = & 3\\ (z_4) & & & & & 3 x_3 & + & 2 x_4 & = & 3 \end{array}$

Aus $z 2$ und $z 4$ folgt: $x 3 = - 1$ . Einsetzen.

$\begin{array}{llllllllll} (z_1) & x_1 & + & x_2 & & & & & = & - 2\\ (z_2) & & & & & & & 2 & = & 2\\ (z_3) & & & & & & & x_4 & = & 3\\ (z_4) & & & & & & & x_3 & = & - 1 \end{array}$

Also $x 2$ beliebig und $x 1 = - 2 - x 2$ . Es folgt:

$\mathbb{L}= \left\{ \left(\begin{array}{c} - 2 - t\\ t\\ - 1\\ 3 \end{array}\right) | t \in \mathbb{R} \right\}$

Matrizen

(1.6) Definition (Matrizen)

Sei $K$ Körper

a) Matrix

Eine $(m \times n)$ -Matrix $A$ über $K$ ist ein ``Schema von $m$ Elementen $a_{ij} \in K$ der Form

$A = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right)$

Merke: ``Zeile vor Spalte

Die $a_{ij}, 1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$ heißen Koeffizienten oder Einträge von $A$

b) Menge der Matrizen

$K^{m \times n} :=$ Menge aller $m \times n$ -Matrizen über $K$

c) Zeilen und Spalten

Sei $A = (a_{\operatorname{ij}}) \in K^{m \times n}$

Die $(1 \times n)$ -Matrix $z_i = (a_{i 1}, a_{i 2}, \ldots a_{in})$ heißt $i$ -te Zeile von $A$

Die $(m \times 1)$ -Matrix $s_j = \left(\begin{array}{c} a_{1 j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{array}\right)$ heißt $j$ -te Spalte von $A$

d) Tupel

Eine $(1 \times n)$ -Matrix wird auch (Zeilen-)-n-Tupel genannt

Eine $(m \times 1)$ -Matrix wird auch (Spalten-)-m-Tupel genannt

$K^m := K^{m \times 1} =$ Menge aller Spalten-m-Tupel

e) Nullmatrix

Die $(m \times n)$ -Matrix mit allen Koeffizienten gleich 0 heißt Nullmatrix.

Geschrieben wird eine einfache 0.

a') Matrix (formal)

Eine $(m \times n)$ -Matrix $A = (a i j)$ über $K$ ist eine Abbildung

$a : \underline{m} \times \underline{n} \rightarrow K, (i, j) \mapsto a_{\operatorname{ij}}$

(1.7) Beispiele (zu 1.6)

Auslassung: Sehr trivial

(1.8) Definition (Koeffizientenmatrix)

Gegeben sei das LGS über $K$ :

$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1 n} x_n = b_1 \vdots a_{m 1} x_1 + a_{m 2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n = b_m$

mit $a_{ij}, b_i \in K (1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n)$

Die Matrix $A := (a_{ij}) \in K^{m \times n}$ heißt die Koeffizientenmatrix des LGS

Das Spalten- $m$ -Tupel $b := \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{array}\right)$ heißt die rechte Seite des LGS

Ist $b = 0$ dann heißt das LGS homogen, sonst inhomogen

Eine Lösung des LGS ist ein Spalten- $n$ -Tupel

$\left(\begin{array}{c} s_1\\ \vdots\\ s_n \end{array}\right) \in K^n$ mit $\overset{n}{\underset{j = 1}{\sum}} a_{ij} s_j = b_i \forall i = 1 \ldots n$

Die Lösungsmenge </math>}} des LGS ist die Menge aller Lösungen (Beachte: $\mathbb{L} \subseteq K^n$ )

Da $A$ und $b$ das LGS bestimmten, schreiben wir $\mathbb{L}(A, b)$ für $\mathbb{L}$

Die Matrix $(A, b) \in K^{m \times (n + 1)}$ heißt die erweiterte Koeffizientenmatrix des LGS

(1.9) Beispiel (zu 1.8)

Auslassung: Nur einige einfache Beispiele, eventuell auch mehr, hab nicht mehr aufgepaßt

Der Gauß Algorithmus

(1.11) Definition (Zeilentransformationen)

Sei $K$ ein Körper und $A \in K^{m \times n}$

Jede der folgenden Umformungen heißt elementare Zeielentransformation.

(Typ I) $\tau_{\operatorname{ij}} (1 \leqslant i, j \leqslant m)$ : Vertausche Zeile $i$ und Zeile $j$

(Typ II) $\alpha_{\operatorname{ij}} (c) (1 \leqslant i \neq j \leqslant m, c \in K) :$ Addiere das $c$ -fache der Zeile $j$ zur Zeile $i$

(Typ III) $\mu_i (c) (1 \leqslant i \leqslant m, c \in K, c \neq 0) :$ Multipliziere Zeile $i$ mit $c$

Wir können $\tau_{\operatorname{ij}}, \alpha_{\operatorname{ij}} (c), \mu_i (c)$ als Abbildungen $K^{m \times n} \rightarrow K^{m \times n}$ auffassen.

(1.12) Beispiel (zu 1.11)

$K =\mathbb{Q}, m = 3, n = 4 \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ - 1 & - 1 & 5 & 6 \end{array}\right) \overset{\tau_{23}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ - 1 & - 1 & 5 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \overset{\alpha_{12} (2)}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc} - 1 & 0 & 13 & 16\\ - 1 & - 1 & 5 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \overset{\mu_2 (- 1)}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc} - 1 & 0 & 13 & 16\\ 1 & 1 & - 5 & - 6\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$

(1.13) Satz

Sei $(A, b) \in K^{m \times (n + 1)}$ und sei $(A', b') \in K^{m \times (n + 1)}$ durch eine Folge von elementaren Zeilentransformationen aus $(A, b)$ hervorgegangen. Dann ist $\mathbb{L}(A, b) =\mathbb{L}(A', b')$

Beweis

$\mathbb{L}(A, b) =\mathbb{L}(\tau_{\operatorname{ij}} (A, b)) =\mathbb{L}(\alpha_{\operatorname{ij}} (c) (A, b)) =\mathbb{L}(\mu_j (c) (A, b))$

für alle $1 \leqslant i, j \leqslant m, c \in K, i \neq j$

(1.14) Definition (Zeilenstufenform)

Eine Matrix $A \in K^{m \times n}$ hat Zeilenstufenform wenn

$A = \left(\begin{array}{ccccccc} 0 & \boxtimes & \ast & \ldots & & & \ast\\ 0 & 0 & \boxtimes & \ast & \ldots & & \ast\\ 0 & 0 & 0 & \boxtimes & \ast & \ldots & \ast\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{array}\right)$

( $\boxtimes \neq 0, \ast$ beliebig)

Formal

Sei $z i$ die $i$ -te Zeile von A, d.h. $A = \left(\begin{array}{c} z_1\\ \vdots\\ z_m \end{array}\right), z_i \in K^{1 \times n}$

Sei $k_i \in \mathbb{N}$ die Anzahl der ``führenden Nullen

von $z i$ plus 1, d.h. $z_i = ( \underset{k_i - 1}{\underbrace{0, \ldots, 0}}, \underset{k_i}{\underbrace{\boxtimes}}, \ast \ldots \ast)$

$A$ hat Zeilenstufenform, wenn gilt: $k_1 < k_2 < \ldots < k_r < k_{r + 1} = \ldots = k_m = n + 1$

(1.15) Gauß-Algorithmus (Teil I)

Jede Matrix $A \in K^{m \times n}$ kann durch eine Folge elementarer Zeilentransformationen von Typ I und Typ II auf Zeilenstufenform gebracht werden.

Sei $A = a_{\operatorname{ij}} = (s_1, \ldots, s_n), a_{\operatorname{ij}} \in K, s_j \in K^m$

Wenn $A = 0$ dann fertig
Sei $k := \min \{j| 1 \leqslant j \leqslant n, s_j \neq 0\}$
Wähle ein $i$ mit $a_{\operatorname{ik}} \neq 0$ (erste Spalte $\neq 0$ ) und tausche Zeile 1 mit Zeile $i$ (d.h. $τ 1 i$ )
Für jedes $i = 2, \ldots, k_1$ wende $\alpha_{i 1} (- \frac{a_{\operatorname{ik}}}{a_{1 k}})$ an
Mache weiter mit Zeile $2, \ldots, m$

(1.16) Beispiel (zu 1.15)

Auslassung: Zu aufwendig. Im Internet finden sich genug Beispiele zur Anwendung

(1.17) Anwendung (von 1.15)

Lösungsverfahren für homoges LGS

Sei $A \in K^{m \times n}$ die Koeffizientenmatrix eines LGS
Bringe $A$ auf Zeilenstufenform mit Gauß I (1.15)
Die r Unbekannten $x_{k_1}, x_{k_2}, \ldots, x_{k_r}$ heißen abhängig die anderen heißen frei
Ersetze die freien Unbekannten durch Parameter $t_1, t_2, \ldots, t_{n - r}$
Löse von unten nach oben macj dem anhängigen Unbekannten auf
``Rueckwaertssubstitution

(1.18) Beispiel (zu 1.17)

$A = \left(\begin{array}{ccccc} 1 & - 2 & 3 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 1 & - 4\\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{4 \times 5}$

Abhängig: $x 1, x 3, x 4$

Frei: $x 2, x 5$

$x_2 = t_1, x_5 = t_2, t_1, t_2 \in \mathbb{Q}$ beliebig
Zeile 3: $- x_4 + 3 x_5 = 0 \Rightarrow x_4 = 3 x_5 = 3 t_2$
Zeile 2: $2 x_3 + x_4 - 4 x_5 = 0 \Rightarrow \ldots \Rightarrow x_3 = \frac{1}{2} t_2$
Zeile 1: $\ldots \Rightarrow x_1 = 2 t_1 - \frac{3}{2} t_2$

$\mathbb{L}(A, 0) = \left\{ \left(\begin{array}{c} 2 t_1 - \frac{3}{2} t_2\\ \frac{1}{2} t_2\\ 3 t_2\\ t_2 \end{array}\right) | t_1, t_2 \in \mathbb{Q} \right\}$

(1.19) Bemerkung (zu 1.17)

Ein homogenes LGS hat immer eine (d.h. min. eine) Lösung, nämlich die triviale Lösung $\left(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}\right) \in K^n$
Hat ein homohenes LGs weniger Gleicheungen als Unbekannte (d.h. $m < n$ ), dann besitzt es eine nicht-triviale Lösung
Für ein homogenes LGS sind folgende Aussagen äquivalent:
Das LGS hat nicht-triviale Lösungen
Das LGS ist nicht-trivial lösbar
$\mathbb{L} \neq 0 (0 \in K^n)$
Es gibt freie Unbekannte $(n - r > 0)$

(1.20) Anwendung (Lösungsverfahren für inhomogenes LGS)

Sei $(A, b) \in K^{m \times (n + 1)}$ die erweiterte Koeffizientenmatrix eines LGS

Bringe $(A, b)$ mit Algorithmus (1.15) auf Zeilenstufenform

Notiz: Da die schmematische Darstellung aus der Vorlesung wenig erlaeuchtend und recht kompliziert war, formuliere ich die Fälle hier aus

1. Fall: Entsteht eine Matrix, bei der die letzte (unterste) nicht-Nullzeile bis auf die rechte Seite komplett mit Nullen gefüllt ist, so erhalten wir die Form $0 x_1 + \ldots + 0 x_n = b_r$ mit $b_r \neq 0$ , was ein Widerspruch ist. Es existiert also keine Lösung.

2. Fall: Die unterste nicht-Nullzeile hat $\geqslant 2$ Spalten vom rechten Rand entfernt die erste Zahl die nicht Null ist (d.h. alle Matrizen in Zeilenstufenform bei denen Fall 1 nicht zutrifft). Definiere abhänge/freie Unbekannte genau wie bei homogenen LGS und mache Rückwärtsubstitution.

Spezielle Lösung des inhomogenen LGS
Wähle eine Lösung $s \in \mathbb{L}(A, b)$ indem alle freien Unbekannten 0 gesetzt werden
Allgemeine Lösung den zugehörigen homogenen LGS
Bestimmte $\mathbb{L}_0 := \mathbb{L}(A, 0)$ wie in Anwendung (1.17)
Allgemeine Lösung des inhomogenen LGS
(A, b) = s +\mathbb{L}_0 =\{s + u|u \in \mathbb{L}_0 \} \subseteq K^n</math>}}}}
wobei $s + u := \left(\begin{array}{c} s_1 + u_1\\ \vdots\\ s_n + u_n \end{array}\right)$

(1.21) Beispiel (zu 1.20)

$n = m = 4$

$A = \left(\begin{array}{cccc} 1 & - 2 & 3 & 4\\ - 2 & 2 & - 1 & - 3\\ 1 & - 2 & 5 & 4\\ 2 & - 4 & 4 & 8 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{4 \times 4}, b = \left(\begin{array}{c} 2\\ - 6\\ 1\\ 5 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^4$

$(A, b) \overset{\operatorname{Gauss}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & - 2 & 3 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 1 & - 4\\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Fall 2 trifft zu, $k 1 = 1, k 2 = 3, k 3 = 4, r = 3$ , frei: $x 2 = t$ , abhängig: $x 1, x 3, x 4$

Rückwärtsubstitution: Zeile 3: $x 4 = - 3$ , Zeile 2: $x_3 = - \frac{1}{2}$ , Zeile 1: $x_1 = 2 t + \frac{31}{2}$

Lösung:

Spezielle Lsg. des inhom. LGS: Wähle $t = 0$ . $s = \left(\begin{array}{c} \frac{31}{2}\\ 0\\ - \frac{1}{2}\\ - 3 \end{array}\right)$
Allg. Lsg. des hom. LGS: $\mathbb{L}_0 = \left\{ \left(\begin{array}{c} 2 t\\ t\\ 0\\ 0 \end{array}\right) | t \in \mathbb{Q} \right\}$
Allg. Lsg. des inhom. LGS:
$\mathbb{L}(A, b) = s +\mathbb{L}_0 = \left\{ \left(\begin{array}{c} \frac{31}{2}\\ 0\\ - \frac{1}{2}\\ - 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2 t\\ t\\ 0\\ 0 \end{array}\right) | t \in \mathbb{Q} \right\}$

(1.22) Bemerkung (zu 1.20)

Beim Lösen von LGS mit dem Gauß-Algorithmus bedeutet eine Spaltenvertauschung genau eine Vertauschung der zugehörigen Unbekannten. Vertauschen ist also erlaubt, wenn man es sich für die Zuordnung zum LGS merkt. Niemals kann man die $b$ -Spalte vertauschen.

Auslaßung: Beispiel zum Vertauschen

(1.23) Definition (Reduzierte Zeilenstufenform, Normalform)

Notiz: Wieder ausformuliert

Eine Matrix $A \in K^{m \times n}$ hat reduzierte Zeilenstufenform', wenn die ``Stufen der Matrix jeweils mit eine 1 beginnen, also die erste Zahl in einer Zeile ungleich 0 stehts eine 1 ist, und außerdem die Zahl über dieser 1 eine 0 ist. Etwa:

$A = \left(\begin{array}{ccccccc} 0 \ldots 0 & 1 & \ast \ldots \ast & 0 & \ast & \ldots & \ast\\ 0 & \ldots & 0 & 1 & \ast \ldots \ast & 0 & \ast \ldots \ast\\ & & & \vdots & & & \end{array}\right)$

$A$ hat Normalform, wenn die führenden Einsen den red. Zeilenstufenform eine Diagonale Linie innerhalb eines Null-Blocks bilden. Etwa:

$A = \left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ast & \ldots & \ast\\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & \ast & \ldots & \ast\\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & \ast & \ldots & \ast\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 & \ast & \ldots & \ast\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ast & \ldots & \ast\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

(1.24) Gauß-Algorithmus II

Jede Matrix $A \in K^{m \times n}$ kann durch eine Folge elementarer Zeilentransformationen (Typ I-III) auf reduzierte Zeilenstufenform gebracht werden. Zusätzlich kann mit Spaltenvertauschungen die Normalform erzeugt werden.

(1.25) Beispiel (zu 1.24)

Löse das LGS mit

$(A, b) = \left(\begin{array}{ccccc} 1 & - 2 & 3 & 0 & 14\\ 0 & 0 & 2 & 1 & - 4\\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{4 \times 5}$

Mit $α 13 (4),α 23 (1),μ 2 ( - 1)$ erhalten wir

$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & - 2 & 3 & 0 & 14\\ 0 & 0 & 2 & 0 & - 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ (Nullzeile kann entfallen)

Mit $\alpha_{12} \left( - \frac{3}{2} \right), \mu \left( \frac{1}{2} \right)$ erhalten wir

$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & - 2 & 3 & 0 & \frac{7}{2}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}\right)$ (red. Zeilenstufenform)

Vertausche Spalten $x_2 \rightarrow x_4, x_3 \rightarrow x_2, x_4 \rightarrow x_3$

$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & - 2 & \frac{7}{2}\\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 3 \end{array}\right)$ (Normalform, ersten 3 Spalten abhängig, 4. Spalte frei)

Spez. Lsg.: $s = \left(\begin{array}{c} \frac{7}{2}\\ 0\\ - \frac{1}{2}\\ - 3 \end{array}\right)$
Allg. Lsg. (homogen): $\mathbb{L}_0 = \left\{ \left(\begin{array}{c} 2 t\\ t\\ 0\\ 0 \end{array}\right) | t \in \mathbb{Q} \right\}$
Allg. Lsg. (inhomogen): $\mathbb{L}(A, b) = s +\mathbb{L}_0$

Matrix-Arithmetik

Ab jetzt betrachten wir auch Matrizen über kommultative Ringe (anstatt nur über Körpern). $R^{m \times n} :=$ Menge der $m \times n$ -Matrizen über R

Achtung Gauß-Algorithmus funktioniert nicht, wenn $R$ kein Körper ist!

(1.27) Definition (Matrix-Arithmetik)

$R$ ist kommultativer Ring, $A = (a_{\operatorname{ij}}) = R^{m \times n}, r \in R$

$A^T := (a_{\operatorname{ij}}^T)$ mit $a_{\operatorname{ij}}^T := a_{\operatorname{ji}}$ für $1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$ ( $A^T \in R^{n \times m}$ )
$r \cdot A = (r \cdot a_{\operatorname{ij}}) \in R^{m \times n}$ (Skalare Multiplikation)
Für $B = (b_{\operatorname{ij}}) \in R^{m \times n}$ ist $A + B = (a_{\operatorname{ij}} + b_{\operatorname{ij}}) \in R^{m \times n}$ (Summe von $A$ und $B$ )
Für $A \in R^{m \times n}, B \in R^{n \times l}$
Sei $A = (a_{\operatorname{ij}}), B = (b_{\operatorname{ij}})$
$A \cdot B = (c_{\operatorname{ij}})$ mit $c_{\operatorname{ij}} := \underset{k = 1}{\overset{n}{\sum}} a_{\operatorname{ik}} \cdot b_{\operatorname{kj}}$ für $1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant l$ ( $A \cdot B \in R^{m \times l}$ )
$A \cdot B$ ist nur definiert wenn Spaltenzahl von $A$ = Zeilenzahl von $B$

(1.28) Beispiele (zu 1.27)

Seien $A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2\\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{2 \times 3}$ , $B = \left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & 1\\ - 2 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{2 \times 3}$
$A^T = \left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 2\\ - 2 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{3 \times 2}$
$3 \cdot A = \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & - 6\\ 9 & 6 & 0 \end{array}\right)$
$A + B = \left(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - 1\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$
Nicht definiert: $A + A^T, A \cdot B$
$A$ wie oben, $B = \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3\\ - 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{3 \times 4}$
$A \cdot B \in \mathbb{Q}^{2 \times 4}$
Falk-Schema:
$\begin{array}{lllllll} & & & 0 & 1 & 2 & 3\\ & & & - 1 & 0 & 0 & 1\\ & & & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & - 2 & - 2 & - 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 0 & - 2 & 3 & 6 & 11 \end{array}$

Spezialfälle

$A \in R^{m \times n}, B \in R^{n \times l}$

$l = 1:$ $A$ wie oben, $B' = \left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{3 \times 1} =\mathbb{Q}^3$ : $A \cdot B' = \left(\begin{array}{c} 3\\ 11 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{2 \times 1} =\mathbb{Q}^2$

$m = 1:$ $A' = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{1 \times 3}$ , $B$ wie oben: $A' \cdot B = \left(\begin{array}{cccc} - 2 & - 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{1 \times 4}$

$l = 1, m = 1:$ $A' \cdot B' = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ 0 \end{array}\right) = 3 + 0 + 0 = 3$ (``Skalarprodukt)

$n = 1:$ $B' \cdot A' = \left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & - 6\\ 1 & 0 & - 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{3 \times 3}$

(1.29) Bemerkung (zu 1.27)

Matrix Multiplikation ist eine Abbildung

$\cdot : R^{m \times n} \times R^{n \times l} \rightarrow R^{m \times l}$

Spezialfälle

$\cdot : R^{m \times n} \times R^n \rightarrow R^m$ ( $l = 1$ )
$\cdot : R^{1 \times n} \times R^{n \times l} \rightarrow R^{1 \times l}$ ( $m = 1$ )
$\cdot : R^{1 \times n} \times R^n \rightarrow R^{|x|} = R$ ( $l = 1, m = 1$ )
$\cdot : R^m \times R^{1 \times l} \rightarrow R^{m \times l}$ ( $n = 1$ )

Sei $A = \left(\begin{array}{c} z_1\\ \vdots\\ z_m \end{array}\right), B = \left(\begin{array}{ccc} s_1 & \ldots & s_l \end{array}\right), z_i \in R^{1 \times n}, s_j \in R^{m \times 1}$

Dann ist $A \cdot B = ( \underset{\operatorname{Skalarp} .}{\underbrace{z_i \cdot s_j}})_{\operatorname{ij}} \in R^{m \times l}$

(1.30) Beispiel und Schreibweise (zu 1.27)

Sei $A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}, x \in K^n$

$A \cdot x = \left(\begin{array}{c} \underset{j = 1}{\overset{n}{\sum}} a_{1 j} x_j\\ \underset{j = 1}{\overset{n}{\sum}} a_{2 j} x_j\\ \vdots\\ \underset{j = 1}{\overset{n}{\sum}} a_{\operatorname{mj}} x_j \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{array}\right) \in K^m$

Wir schreiben das LGS mit der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A, b)$ formal als Matrixgleichung $A \cdot x = b$

(1.31) Definition (Einheitsmatrix)

Sei $R$ kommultativer Ring

$E_n = \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) = (d_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant m} \in R^{n \times n}$

$d_{ij} := \left\{ \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \text{ wenn } \begin{array}{c} i = j\\ i \neq j \end{array} \right.$

heißt $n$ -elementige Einheitsmatrix

(1.32) Satz

Sei $R$ kommultativer Ring

Für alle $A, B, C \in R^{m \times n}$ gilt:
$(A + B) + C = A + (B + C)$
$0 + A = A = A + 0$
$A + ( - 1) A = 0 = ( - 1) A + A$
$A + B = B + A$
$(AB) C = A (BC) \forall A \in R^{m \times n}, B \in R^{n \times l}, c \in R^{l \times p}$
$E_m A = A = AE_n \forall A \in R^{m \times n}$
$(A + B) C = AC + BC \forall A, B \in R^{m \times n}, C \in R^{m \times l}$
$A (B + C) = AB + AC \forall B, C \in R^{m \times n}, A \in R^{m \times l}$
$+ (AB) = (+ A) B = A (+ B) \forall A, B \in R^{m \times n}$
$(A^t)^t = A \forall A, B \in R^{m \times n}$
$(A + B)^t = A^t + B^t \forall A, B \in R^{m \times n}$
$(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t \forall A \in R^{m \times n}, B \in R^{m \times l}$

Auslassung: Beweis dazu

(1.33) Folgerung (aus 1.32)

Sei $R$ kommulativer Ring

Dann ist $R^{m \times n}$ ein Ring bzgl. Matrixaddition und -Multiplikation (aus Def. 1.27)

Sind $0 \in R^{m \times n}$ und $E_n \in R^{m \times n}$

Beweis: Satz 1.32 (Falls $m = n$ )

(1.34) Bemerkung und Beispiele (zu 1.33)

Sei $R \neq \{0\}$ (dh. $1 \neq 0$ ) $n > 1$

$\exists A \in R^{m \times n}, A \neq 0$ mit $A 2 = 0$
zB. $\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)^2 = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)$
(B2) ist verletzt, also $R^{m \times n}$ kein Körper (selbst wenn $R$ Körper ist)
$R^{m \times n}$ ist nicht kommultativ
zB. $\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right) \neq \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)$
Schema für Mult. in $R^{m \times n}$
Auslassung: Nochmal Falk-Schema als Bild

(1.35) Definition (Lineare Gruppe)

Sei $R$ kommutativer Ring, $n \in \mathbb{N}$

Die Einheitengruppe von $R^{n \times n}$

$\operatorname{GL}_n (R) := (R^{n \times n})^{\ast} =\{A \in R^{n \times n} |A \text{ invertierbar} \}$

heißt volle Lineare Gruppe über $R$ vom Grad $n$

Genaür: $(\operatorname{GL}_n (R), \cdot)$

(1.36) Bemerkung (zu 1.35)