Lineare Algebra - Mitschrift - Hanke/2 Vektorräume

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Inhaltsverzeichnis

1 §4 Vektorräume
2 §5 Basis und Dimension
3 §6 Unterräume des K^n
4 §7 Lineare Abbildungen und Matrizen
5 §8 Matrix-Inversion und LU-Zerlegung

§4 Vektorräume

(2.1) Definition (Vektorraum)

Sei $K$ ein Körper und $(V, + )$ eine abelsche Gruppe.

$V$ heißt $K$ -Vektorraum oder Vektorraum über $K$ , wenn eine skalare Multiplikation definitert ist:

$\cdot : K \times V \rightarrow V, (\lambda, v) \mapsto \lambda \cdot v = \lambda v$

mit

(V1) $(λ + μ) v = λ v + μ v$

(V2) $λ(v + w) = λ v + λ w$

(V3) $λ(μ v) = (λμ) v$

(V4) $1 v = v$

für alle $\lambda, \mu \in K$ und $v, w \in V$

Die Elemente von $V$ heisen Vektoren, die Elemente von $K$ Skalare.

Achtung: $0$ bezeichnet sowohl $0 \in K$ als auch $0 \in V$

Die $0 \in V$ heißt Nullvektor, geschrieben $\mathcal{O}$

(2.2) Folgerungen (aus 2.1)

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum (kurz: $K$ -VR)

Für alle $\lambda \in K, v \in V$ gelten:

(W1) $0 v =\mathcal{O}$

(W2) $\lambda \mathcal{O}=\mathcal{O}$

(W3) $\underset{(V, +)}{\underbrace{- v}} = \underset{(K, +)}{\underbrace{(- 1)}} v$

(2.3) Beispiele (zu 2.1)

$V = {0}$ ist der triviale $K$ -VR
Sind $K \subseteq L$ zwei Körper (insbes. $K = L$ )
dann ist $L$ ein $K$ -VR mit
$\cdot : K \times L \rightarrow L, (\lambda, a) \mapsto \underset{\text{Mult. in } L}{\underbrace{\lambda a}}$
Zum Beispiel $\mathbb{R}$ ist $\mathbb{Q}$ -VR, $\mathbb{C}$ ist $\mathbb{R}$ -VR
$(K^{m \times n}, +)$ ist $K$ -VR mit
$\cdot : K \times K^{m \times n} \mapsto K^{m \times n}, (\lambda, A) \mapsto \lambda A$ (Def. 1.27b)
Speziell: Die Elemente von $K^n = K^{n \times 1}$ und $K^{1 \times n}$ heißen
Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor
Sei $M$ Menge
Dann ist $K M$ ein $K$ -VR mit
$\cdot : K \times K^M \rightarrow K^M, (\lambda, f) \mapsto \lambda f$
$(\lambda f) (x) = \underset{\text{Mult. in } K}{\underbrace{\lambda f (x)}}$
Speziell:
$M = \underline{m} \times \underline{n}$
$K^M = K^{\underline{m} \underline{} \times \underline{n}} = K^{m \times n}$
$\mathbb{R}$ -VR: $\left\{ \begin{array}{c} \mathbb{R}^{\mathbb{R}} =\{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}\\ C (\mathbb{R}) =\{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}|f \text{ stetig} \}\\ C^{\infty} (\mathbb{R}) =\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} |f \text{ beliebig oft diffbar} \}\\ \operatorname{Pol} (\mathbb{R}) =\{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a_n x^n + \ldots + a_1 x^1 + a_0 |a_i \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_0 \} \end{array} \right.$
$\mathbb{R}^{\mathbb{N}} =\{f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\}$ (Folgenraum, Funktionalanalysis(?))

(2.4) Definition und Bemerkung (Untervektorraum)

Sei $V$ ein $K$ -VR, $W \subseteq V$

$W$ heißt ( $K$ -)Untervektorraum (Kurz: UVR oder Unterraum) von $V$ ,

geschrieben $W \leqslant V$ , wenn folgende Bedingungen gelten:

(UV1) $W \neq \emptyset$

(UV2) $w + w' \in W \forall w, w' \in W$

(UV3) $\lambda w \in W \forall \lambda \in K, w \in W$

Bemerkung: Dann ist $W$ selbst $K$ -VR bzwl. Addition und Multiplikation von $V$

Es ist $0 \in W$

(2.5) Beispiele (zu 2.4)

Sei $U$ $K$ -VR. $\{0\} \leqslant V, V \leqslant U$
Für jedes $v \in V$ ist
$K \cdot V =\{\lambda v| \lambda \in K\} \leqslant U$
Für $W := \left\{ (a_1, \ldots, a_n) \in K^{l \times n} | \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} a_i = 0 \right\} \leqslant V = K^{1 \times n}$
$\operatorname{Pol} (\mathbb{R}) \leqslant C^{\infty} (\mathbb{R}) \leqslant C (\mathbb{R}) \leqslant \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$
$V =\mathbb{R}^2$ \ (Ebene)
Geraden durch $0 = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$ sind UVR von $V$ . Geraden die nicht durch $0$ gehen sind keine UVR von $V$
Sei $V$ K-VR, $W_1 + W_2 \leqslant V$ und $W_1 \bigcup W_2 \leqslant V$
(0.21): $W_1 + W_2 =\{w_1 + w_2 |w_1 \in W_1 |w_2 \in W_2 \}$
Übung: Nachprüfen UV1-UV5

(2.6) Definition (Linearkombination)

Sei $V$ $K$ -VR.

Seien $v_1, \ldots, v_n \in V$
Eine Linearkombination von $\underset{n - \operatorname{Tupel}}{\underbrace{(v_1, \ldots, v_n)}}$ ist ein Element $v \in V$ der Form
$v = \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} \lambda_i v_i$ mit $v_i \in K$
Sei $M \leqslant U, M \neq \emptyset$
$\langle M \rangle := \left\{ \underset{i = 1}{\overset{n}{\sum}} \lambda_i \cdot v_i | \lambda_i \in K, v_i \in M, n \in \mathbb{N} \right\}$
ist die Menge aller Linearkombinationen (LK) von Elementen aus $M$
$\langle \emptyset \rangle := \{0\}$
$\langle M \rangle$ heißt lineare Hülle von $M$ oder Erzeugnis von $M$

(2.7) Beispiele (zu 2.6)

$V =\mathbb{R}^3, v_1 = \left(\begin{array}{c} 1\\ - 1\\ 0 \end{array}\right), v_2 = \left(\begin{array}{c} - 1\\ - 1\\ 2 \end{array}\right)$
$v_1 + v_2 = \left(\begin{array}{c} 0\\ - 2\\ 2 \end{array}\right), v_1 - v_2 = \left(\begin{array}{c} 2\\ 0\\ - 2 \end{array}\right)$ sind LK von $(v 1, v 2)$
$\langle \{v_1, v_2 \} \rangle = \left\{ \left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{array}\right) | a_1 + a_2 + a_3 = 0 \right\}$ (Übung)
$K =\mathbb{R}^{}, V = C^{\infty} (\mathbb{R})$
$v_1 = \operatorname{id}_{\mathbb{R}}, v_2 = \sin$
$\langle \{v_1, v_2 \} \rangle = \left\{ a \cdot \operatorname{id}_{\mathbb{R}} + b \cdot \sin |a, b \in \mathbb{R}\}=\{f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \mapsto ax + b \sin x|a, b \in \mathbb{R}\} \right.$

(2.8) Satz

Sei $V$ $K$ -VR, $M \leqslant V$

$\langle M \rangle \leqslant V$
Ist $M \leqslant W \leqslant V$ dann ist $\langle M \rangle \leqslant W$
(d.h. $\langle M \rangle$ ist der kleinste UVR von $V$ , der $M$ enthält)
Beweis:
Seien $v_1, \ldots, v_n \in M$ und $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K$
Dann ist $v = \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} \lambda_i v_i \in W$ ?
$v_i \in M \leqslant W \Rightarrow \lambda_i v_i \in W$ (UV3)
$\Rightarrow \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} \lambda_i v_i \in W$
Also $\langle M \rangle \leqslant W$

(2.9) Beispiel und Definition

Sei $A = (a_{\operatorname{ij}}) \in K^{m \times n}$ mit Zeilen $z_1, \ldots, z_m \in K^{1 \times n}$ und Spalten $s_1, \ldots, s_n \in K^m$

Sind $x_1, \ldots, x_n \in K$ , dann ist

$A \cdot \left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_2 \end{array}\right) = \underset{i = 1}{\overset{n}{\sum}} x_i \cdot s_i$ ist eine LK von $(s_1, \ldots, s_n)$

(hier: $V = K m$ )

Sind $y_1, \ldots y_m \in K$ , dann ist

$(y_1, \ldots, y_m) \cdot A = \overset{m}{\underset{i = 1}{\sum}} y_i z_i$ eine LK von $(z_1, \ldots, z_m)$

(hier: $V = K^{1 \times n}$ )

$\operatorname{ZR} (A) := \langle \{z_1, \ldots, z_m \} \rangle \leqslant K^{1 \times n}$

$\operatorname{ZR} (A)$ heißt Zeilenraum von $A$

$\operatorname{SR} (A) := \langle \{s_1, \ldots, s_n \} \rangle \leqslant K^m$

$\operatorname{SR} (A)$ heißt Spaltenraum von $A$

(2.10) Definition

Sei $V, W$ $K$ -VR, $\varphi : V \rightarrow W$

$\varphi$ heißt lineare Abbildung oder $K$ -Homomorphismus, falls gelten:
$\varphi (v + v') = \varphi (v) + \varphi (v') \forall v, v' \in V$
$\varphi (\lambda v) = \lambda \varphi (v) \forall \lambda \in K, v \in V$ $\operatorname{Hom}_K (V, W) := \{\varphi : V \rightarrow W| \varphi \text{ linear} \}$
Ein $\varphi \in \operatorname{Hom}_K (V, V)$ heißt Endomorphismus von $V$
$\operatorname{End}_K (V) := \operatorname{Hom}_K (V, V)$
$\varphi \in \operatorname{Hom}_K (V, W)$ heißt $\left\{ \begin{array}{c} \text{Monomorphismus}\\ \text{Epimorphismus}\\ \text{Isomorphismus} \end{array} \right.$ falls $\varphi \left\{ \begin{array}{c} \text{injektiv}\\ \text{surjektiv}\\ \text{bijektiv} \end{array} \right.$ ist
$V, W$ heißen isomorph, geschrieben $V \cong W$ , falls ein Isomorphismus $V \rightarrow W$ exisitiert

(2.11) Beispiele

$K =\mathbb{R}, V =\mathbb{R}^3, W =\mathbb{R}^2$
$\varphi_1 : V \rightarrow W, \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)$ ist linear
$\varphi_2 : V \rightarrow W, \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c} 1 + a\\ b \end{array}\right)$ ist nicht linear: $(1 + a) + (1 + b) = 2 + (a + b) \neq 1 + (a + b)$
$\varphi_3 : V \rightarrow W, \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c} a\\ b^2 \end{array}\right)$ ist nicht linear: $a^2 + b^2 \neq (a + b)^2$
$\varphi_4 : V \rightarrow W, \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c} a + c\\ b \end{array}\right)$ ist linear
$\varphi : K^{m \times n} \rightarrow K^{m \times n}, A \mapsto A^+$ ist Isomorphismus
$K =\mathbb{R}, V =\mathbb{R}^{\mathbb{R}}, r \in \mathbb{R}$
$\varepsilon_r : V \rightarrow \mathbb{R}, f \rightarrow f (r)$ ist linear
( $\varepsilon_r$ heißt Auswertungshomomorphismus)
Beweis:
$\varepsilon (f + g) = (f + g) (r) = f (r) + g (r) = \varepsilon_r (f) + \varepsilon_r (g)$
$\varepsilon (\lambda f) = (\lambda f) (r) = \lambda f (r) = \lambda \varepsilon_r (f)$
Also ist $\varepsilon_r$ linear
$A \in K^{m \times n}$
$\varphi_A : K^n \rightarrow K^m, x \mapsto A \cdot x$ ist linear
Beweis:
$\varphi_A (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = \varphi_A (x) + \varphi_A (y)$
$\varphi_A (\lambda x) = A (\lambda x) = \lambda (Ax) = \lambda \varphi_A (x)$
$K =\mathbb{R}, V = C^{\infty} (\mathbb{R})$
$\varphi : V \rightarrow V, f \mapsto f'$ (Ableitung) ist linear
Beweis: (nach Analysis)
$(f + g)' = f' + g'$
$(λ f)' = λ f'$

(2.12) Definition

Sei $\varphi \in \operatorname{Hom}_K (V, W)$

$\operatorname{Ker} \varphi := \{v \in V| \varphi (v) =\mathcal{O}\}= \varphi^+ (\{0\}) \leqslant V$ heißt Kern von $\varphi$
$\operatorname{Im} \varphi := \varphi (V) =\{\varphi (v) |v \in V\} \leqslant W$ heißt Bild von $\varphi$

(2.13) Bemerkung

$\operatorname{Ker} \varphi \leqslant V$
$\operatorname{Im} \varphi \leqslant W$
$\varphi \text{ injektiv } \Leftrightarrow \operatorname{Ker} \varphi =\{0\}$
$\varphi \text{ surjektiv } \Leftrightarrow \operatorname{Im} \varphi = W$
Sei $w \in \operatorname{Im} \varphi$ , etwa $\varphi (v) = w, v \in V$
Dann ist $\varphi^{- 1} (\{w\}) = v + \operatorname{Ker} \varphi =\{v + v' |v' \in \operatorname{Ker} \varphi\}$
Sei $\varphi (v) = w$
$v + \operatorname{Ker} \varphi \leqslant \varphi^{- 1} (\{w\}) :$
$v' \in \operatorname{Ker} \varphi \Rightarrow \varphi (u + v') = \varphi (v) + \varphi (v') = w +\mathcal{O}= w$
$\Rightarrow u + v' \in y^{- 1} (\{w\})$
$\varphi^{- 1} (\{w\}) \leqslant v + \operatorname{Ker} \varphi$
Sei $n \in \varphi^{- 1} (\{w\})$ , d.h. $\varphi (n) = w$
Z.z.: $n = v + v'$ für ein $v' \in \operatorname{Ker} \varphi$
Setze $v': = u - v$ . Dann ist $u = v + v'$ und $\varphi (v') = \varphi (u) - \varphi (v) = w - w =\mathcal{O}$
D.h. $v' \in \operatorname{Ker} \varphi$

§5 Basis und Dimension

(2.16) Definition (lineare Abhängigkeit)

(2.17) Bemerkung

(2.18) Beispiel

(2.19) Satz (Erzeugnis/l.a./l.u.)

(2.20) Definition (Erzeugendensystem, Basis)

(2.21) Beispiel

(2.22) Satz (Charakterisierung von Basen)

(2.23) Bemerkung (geordnete Basis)

(2.24) Satz und Definition (Basisergänzungssatz)

Zusammenfassung Erzeugendensystem, l.u., Basis

(2.26) Bemerkung (Dimension und Basis)

(2.25) Folgerung (endlicher Körper Dimension)

(2.27) Beispiele

(2.28) Folgerung (Dimension Unterraum)

(2.29) Beispiel (Matrixdarstellung der komplexen Zahlen)

(2.30) Definition und Bemerkung (Rang, Zeilenraum)

(2.31) Anwendung (Lösen eines LGS mittels Normalform

(2.32) Beispiel

(2.33) Bemerkung

(2.34) Satz

eine lineare Abbildung ist eindeutig definiert durch die Bilder der Basiselemente

(2.35) Beispiel

(2.36) Bemerkung

(2.37) Definition (Rang und Defekt)

(2.38) Beispiel

(2.39) Folgerung (Charakterisierung von injektiv, surjektiv, bijektiv bei linearen Abbildungen)

(2.40) Satz

dim_K V = dim_K W gdw. V =~ W

(2.41) Definition und Bemerkung (Koordinatenvektor)

(2.42) Beispiele

§6 Unterräume des K^n

zb. $\mathbb{R}^n$ n-dim. euklidischer Raum

$\mathbb{Z}_p^n$ Gitterpunkte im n-dim. Würfel der Seitenlänge p

z.B. $\mathbb{Z}_2^3$

Wir kennen z.B.: Sei A $\in K^{m \times n}$

$SR(A) \le K^m$

$ZR(A) \le K^{1 \times n}$

$\mathbb{L}_0(A) \le K^n$ heißt Nullraum von A

(2.43) Bemerkung

Die Abbildungen

$(\cdot)^t : K^n \to K^{1 \times n}, x \mapsto x^t \ \ U \le V$

$(\cdot)^t : K^{1 \times n} \to K^{n}, x \mapsto x^t \ \ \varphi(U) \le W$

sind Isomorphismen.

Für alle $A \in K^{m \times n}$ gilt: $A^t \in K^{n \times m}$

$ZR(A)^t = SR(A^t) \le K^n$

$SR(A)^t = ZR(A^t) \le K^{l \times m}$

Fragen:

Wie bestimmt man Basis / Dimension von SR(A), ZR(A), $\mathbb{L}_0(A)$ ?
Wie testet man: $x \in SR(A), \mathbb{L}_0(A)$ ?

$x \in \mathbb{L}_0(A) \Leftrightarrow A \cdot x = 0$

(2.44) Bemerkung

Seit A in Zeilenstufenform mit Zeilen

$z_1, ..., z_r,0,....,0 und z_1,...,z_y \ne 0$

Dann ist $R g A = r$ und $(z 1,..., z r)$ Basis von ZR(A)

Folge: $(z_1^t,...,z_r^t)$ Basis von $Z R (A) t = S R (A t)$

(2.45) Anmerkung

Sei $A \in K^{m \times n}$

a): 1. Bringe A auf Zeilenstufenform mit Zeilentransf. (Spaltenstufenform mit Spaltentransf.); 2. lese Basis von ZR(A) aus Zeilen ab, (dabei: Null-Zeilen weglassen)

b): 1. Bringe $A t$ auf Zeilenstufenform; 2. Lese Zeilen ab und transponiere diese. -> Basis von SR(A)

§7 Lineare Abbildungen und Matrizen

(2.56) Definition (Abbildungsmatrix)

(2.57) Beispiel

(2.58) Satz (Spaltenvektoren und lineare Abbildungen)

(2.59) Beispiele

(2.60) Satz (Abbildung Homomorphismus)

(2.61) Folgerung (Dimension bijektiv)

(2.62) Folgerung

A invertierbar gdw. ( $φ$ ) Isomorphismus

Basiswechsel

(2.63) Definition und Bemerkung (Basiswechselmatrix)

(2.64) Satz (Basiswechselsatz)

(2.65) Bemerkung (eindeutige Basis)

Beispiel

(2.66) Beispiel (Spiegelung und Drehung)

Speziell: Basiswechselmatrix

(2.67) Bemerung

Basiswechsel entsprechen Isomorphismen

(2.68) Folgerung

(2.69) Beispiel

§8 Matrix-Inversion und LU-Zerlegung

Invertieren

(2.70) Beispiel (Invertieren)

LU-Zerlegung

(2.71) Satz (Umformungen für LU)

Anwendung LU

(2.72) Algorithmus (LU)

(2.73) Beispiel (LU)

(2.74) Bemerkung

(2.75) Satz

$φ$ injektiv eindeutig lösbar