Reihe

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Gegegeben sei eine Folge \lbrace a_n \rbrace_{n=1}^\infty.

Die formale Summe a_1 + a_2 + a_3 + \dots = \sum_{k=1}^\infty a_k heißt Reihe, und die Zahlen s_n = \sum_{k=1}^n a_k\;,\,n = 1,2, \dots ihre n-te Partialsumme.

Inhaltsverzeichnis

Konvergenz

Die Reihe \sum_{k=1}^\infty a_k heißt konvergent, wenn ein s \in \mathbb{R} existiert mit \lim_{n \to \infty}s_n = s. Die reelle Zahl s heißt dann die Summe der Reihe, in Zeichen s = \sum_{k=1}^\infty a_k. Ist die Folge der Partialsummen nicht konvergent, so heißt die Reihe divergent.

Absolute Konvergenz

Eine Reihe

\sum_{k=1}^\infty a_k

heißt absolut konvergent, wenn

\sum_{k=1}^\infty \left| a_k \right| < \infty

Sie heißt bedingt konvergent, wenn sie zwar konvergent aber nicht absolut konvergent ist.

Insbesondere gilt:

\exists \sum_{k=1}^\infty \left| a_k \right| \Rightarrow \exists \sum_{k=1}^\infty a_k

Man beachte, dass dies nicht umkehrbar ist.

Wichtige Reihen

Geometrische Reihe

Die Reihe \sum_{k=1}^\infty x^k heißt geometrische Reihe.

Konvergenz

Man betrachte zwei Fälle.

Für -1 < x < 1

Für solche x gilt \lim_{n \to \infty} \left| x \right|^n = 0. Somit gilt:

\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}
Für alle anderen x

Für solche x ist die geometrische Reihe divergent. Also gilt:

\nexists \sum_{k=0}^\infty x^k


Harmonische Reihe

Die Reihe \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} heißt harmonische Reihe.

Die Reihe \sum_{k=1}^\infty \left( -1 \right)^{k\pm 1} \frac{1}{k} heißt alterierende harmonische Reihe. Man beachte, dass statt der 1 im Exponenten ein beliebiger ganzer ungerader Wert stehen kann.

Konvergenz

Während die harmonische Reihe divergent ist (obwohl 1/k gegen 0 konvergiert), konvergiert die alterirende harmonische Reihe gegen den Grenzwert ln2.

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