Ring

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 (a)
- 1.2 (b)
2 Bemerkung

Definition

(a)

Ein Ring $A = (A,+,\cdot)$ ist eine Menge A, zusammen mit 2 Verknüpfungen $+ : A \times A \to A, \quad \cdot: A \times A \to A$ mit

(i)

(A,+) ist abelsche Gruppe (d.h. (A,+) ist Gruppe und $a+b=b+a \quad \forall a,b \in A$ )

(ii)

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \quad \forall a,b,c \in A$

(iii)

Distributivgesetz:

$(a + b) \cdot c = ac + bc$

$a \cdot (b + c) = ab + ac$

$\forall a,b,c \in A$

(b)

$(A,+,\cdot)$ heißt kommutativ := $a \cdot b = b \cdot a \quad \forall a,b \in A$

Bemerkung

$(A,\cdot )$ ist keine Gruppe (i.a.)

z.B. $(\mathbb{Z},\cdot)$ ist zwar assoziativ aber $2^{-1} \notin \mathbb{Z}$ d.h. $\forall a \in \mathbb{Z}$ ist $a \cdot 2 \ne 1$ (2 hat kein Inverses)

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