Satz von Cayley-Hamilton

Aus Infostudium Wiki

Definition

Der Satz von Cayley Hamilton sagt aus, dass wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt, die Lösung 0 ist. Dieser Satz wird häufig benutzt um das Inverse einer Matrix zu bestimmen (siehe Beispiel).

Für Matrizen gilt:

$χ A (A) = 0$

Für linear Abbildungen gilt $χ φ (φ) = 0$

Beispiel: Bestimmung der Inversen über den Satz von Calay-Hamilton

Sei $A=\left(\begin{matrix}-1&2&2\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}\right)$

Nach berechnungen des charakteristischen Polynoms ergibt sich:

$χ A = x 3 + x 2 - 2 x - 2 x 0$

Setzt man nun A in die Formel ein, so gilt:

$\chi_A(A)=A^3+A^2-2A-2E_3 \overset{\text{Calay-Hamilton}}=0$

Durch Umformung (2E auf die andere Seite, A ausklammern, durch 2 teilen) erhält man:

$A(A^2+A-2E_3)\cdot\frac 1 2 = E_3$

Somit folgt, dass $A^{-1} = (A^2+A-2E_3)\cdot\frac 1 2$ sein muss (, da $A\cdot A^{-1}=E$ )

Durch Einsetzen folgt:

$A^{-1}=\left(\begin{matrix}0&1&0\\0&0&1\\0.5&0.5&-1\end{matrix}\right)$

Allgemeines Vorgehen

1. Bestimme das charakteristische Polynom

2. Setze A in die Formel ein und diese ist nach Vorraussetzung = 0

3. Bringe den letzten Faktor (mit E) auf die andere Seite und teile evtl durch den Faktor, sodass auf der rechten Seite die Einheitsmatrix steht

4. Klammere nun A auf der linken Seite aus und schon ist der rechte Teil dieses Produkts die inverse Matrix zu A

Satz von Cayley-Hamilton

Aus Infostudium Wiki

Definition

Beispiel: Bestimmung der Inversen über den Satz von Calay-Hamilton

Allgemeines Vorgehen

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Navigation

Informatik

Mathematik

Anwendungsfächer

Suche

Werkzeuge