Skalarprodukt

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Definition

(x,y) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i = x^t \cdot y

| | x | | = (x,x)1 / 2

Schwarzsche Ungleichung

|(x,y)| \le ||x|| \cdot ||y||

dh. |\sum_{i=1}^n x_i y_i| \le (\sum_{i=1}^n x_i^2)^{1/2} \cdot (\sum_{i=1}^n y_i^2)^{1/2}

Gleichheit \Leftrightarrow x=\alpha \cdot y

Beweis: y \ne o , \alpha \in \mathbb{R}

0 \le ||x-\alpha \cdot y ||^2 = (y - \alpha \cdot y, x - \alpha \cdot y)

= (x,x) - 2 \cdot \alpha \cdot (x,y) + \alpha^2 \cdot (y,y) := f(\alpha)

|\frac{(x,y)}{||x|| \cdot ||y||}| \le 1

-1 \le \frac{(x,y)}{||x|| \cdot ||y||} \le 1

Weblinks

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