Varianz

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Inhaltsverzeichnis

s^2 \equiv Varianz

s^2 = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}

Beispiel

X 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 5
\sum = 55 n = 11 \bar{x} = 5
(x-\bar{x})^2 ( − 3)2 ( − 2)2 ( − 1)2 02 12 22 32 ( − 1)2 02 12 02
9 4 1 0 1 4 9 1 0 1 0


s^2 = \frac{9+4+1+0+1+4+9+1+0+1+0}{11-1} = \frac{30}{10} = 3

s = \sqrt{3} = 1.732

Varianz klassierter Daten

s^2 = \frac{ \sum\limits_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2 \cdot n_j}{ \sum\limits_{j=1}^k \cdot n_j-1}

Beispiel

xj 2 3 4 5 6 7 8 \bar{x}=5
nj 1 1 2 3 2 1 1 11
(x_j-\bar{x})^2 9 4 1 0 1 4 9


s^2 = \frac{9 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1}{(1+1+2+3+2+1+1)-1} = \frac{9+4+2+0+2+4+9}{11-1} = \frac{30}{10}

= 3

s = \sqrt{3} = 1.732

Varianzberechnung ohne Mittelwert

SS = \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2

= \sum\limits_{i=1}^n (x^2_i - 2x_i \bar{x}+\bar{x}^2)

= \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - \sum\limits_{i=1}^n 2x_i \bar{x}^2 + \sum\limits_{i=1}^n \bar{x}^2

= \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 - 2 \bar{x} \sum\limits_{i=1}^n x_i + n \bar{x}^2 \quad \quad \big | \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

SS = \frac{n \sum x^2_i - (\sum\limits_{i=1}^n x_i)^2}{n}

s^2 = \frac{n \sum x^2_i - (\sum\limits_{i=1}^n x_i)^2}{n(n-1)}

Beispiel

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