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Inhaltsverzeichnis 1 Abbildungen 1.1 Konventionen und Sätze 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 homogene LGS 2.2 inhomogene LGS 2.3 Gauss Transformationen 3 Grundstrukturen 4 Relationen 4.1 Partitionen 4.2 Kanonische (natürliche) Abbildung

Abbildungen

Definitionsbereich: M

Wertebereich: N

Urbild von f(x): x

Bild von x: f(x)

Identität:

Faser:

surjektiv: f(M)=N (jeder wird getroffen; keine Faser ist leer)

injektiv: (jeder Faser enthält max. ein Element)

bijektiv: surjektiv und injektiv (jede Faser enthält ein Element)

Komposition:

Umkehrabbildung: Ist f bijektiv so existiert die eindeutige Umkehrabbildung f ^{− 1}

,

Konventionen und Sätze

1. Jede Abbildung kann als Komposition einer injektiven und einer surjektiven Abbildung geschrieben werden.

2. Zu jeder Menge M existiert genau eine Abbildung, die die leere Menge auf M abbildet.

3. Ist dann existiert keine Abbildung von M in die leere Menge

Lineare Gleichungssysteme

homogene LGS

1. Ein homogenes LGS hat immer (mindestens) eine Lösung, nämlich die triviale Lösung

2. Hat ein homogenes LGS weniger Gleichungen als Unbekannte (m < n) dann hat es eine nicht-triviale Lösung.

inhomogene LGS

1. Ein inhomogenes LGS kann keine (Widerspruch), genau eine oder unendlich viele Lösung haben.

2. Lösungsmenge: L = s + L₀ (s spezielle Lösung, L₀ Lösung des HLGS)

Gauss Transformationen

Tauschen:

Multiplizieren:

Addieren: (Addiert das c-fache von j zu i)

Grundstrukturen

Addition:

	Ring	Körper	Vektorraum	Gruppe
Neutrales Element:					x + 0 = x
Inverses Element:					x + ( − x) = 0
Kommutativ:				abelsch	x + y = y + x
Assoziativ:					(x + y) + z = x + (y + z)

Multiplikation:

	Ring	Körper	Vektorraum
Neutrales Element:
Inverses Element:
Kommutativ:
Assoziativ:
Distributiv:

Relationen

Anzahl der (reflexiven) Relationen einer n-elementigen Menge:

R : reflexiv:

S : symmetrisch:

A : antisymmetrisch:

T : transitiv:

Äquivalenzordnung: R,S,T erfüllt.

(Halb-)Ordnung: R,A,T erfüllt.

Totalordnung: R,A,T erfüllt und alle Elemente sind vergleichbar.

Äquivalenzklasse:

Menge der Äquivalenzklassen:

Partitionen

Eine Partition unterteilt eine Menge in nicht-leere Teilmengen (sog. Teile).

Die Menge der Äquivalenzklassen M/R bildet eine Partition von M.

Kanonische (natürliche) Abbildung

Die kanonische Abbildung ordnet jedem Element seine Äquivalenzklasse zu.